Drucken          Öffnen als PDF          Öffnen als Word-Doc.

 

Technische Universität Berlin

Institut für Soziologie

SRP-Labor

1000 Berlin 30

 

 

 

Zur notwendigen Negation wissenschaftlicher

Disziplinen zwischen der Mathematik und den

sie nutzenden Einzelwissenschaften

Diskussionsbeiträge IS/TUB 18

Werner Grundmann

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Berlin, November 1992

Über das Internet veröffentlicht am 30.07.2008

 

Inhalt

 

 

                                                                                                                                          Seite

 

 

          Vorbemerkungen des Herausgebers                                                                            3

 

 

0.       Vorwort des Autors                                                                                                        4

 

 

1.       Einleitung                                                                                                                       6

 

 

2.       Erfahrungen und Erkenntnisse gegen die objektive Berechtigung von Wissen-          7

          schaftsdisziplinen zwischen der Ökonomie und der Mathematik.

 

 

3.       Zur möglichen Abgrenzung zwischen den Einzelwissenschaften und der Mathe-    12

          matik

3.1.    Über inhaltlich-mathematische Formen                                                                      12

3.2.    Über abstrakt-mathematische Formen                                                                       17

3.3.    Formale inhaltliche Anteile innerhalb inhaltlich-mathematischer Formen                   19

3.4.    Der Übergang von inhaltlich-mathematischen zu abstrakt-mathematischen             20

          Formen

3.5.    Beispiel für den Übergang von einer inhaltlich-mathematischen zur abstrakt-           23

          mathematischen Form

3.6.    Zur Lösung inhaltlich-mathematischer und abstrakt-mathematischer Probleme       26

3.7.    Zur notwendigen Abgrenzung der Mathematik nach außen                                        27

3.8.    Der formale inhaltliche Anteil innerhalb einer Problemsituation - ein Aspekt ihrer      28

          Erforschung

 

 

4.       Ausblick                                                                                                                        29

 

 

5.       Nachwort                                                                                                                      34

 

 

 

 

 

 

Vorbemerkungen des Herausgebers

Die zunehmende Rechnerunterstützung auch sozialwissenschaftlicher Forschungsarbeiten ermöglicht und erzwingt teilweise sogar die formale Abbildung sozialer Vorgänge. Die Ent­wicklung eines allgemeinen Modells der Agglomeration am Beispiel Berlins schließt ein sol­ches Vorgehen notwendigerweise ein.

Die Erstellung eines Agglomerationsmodells ist die erste Arbeit im Rahmen des Laboratori­ums zur Stadt- und Regionalplanung, einer Arbeitsstelle, die wir in Zusammenarbeit der Institute für Soziologie und für die Stadt- und Regionalplanung aufbauen und die wir abge­kürzt als "SRP-Labor" bezeichnen. Die Intentionen, die wir verfolgen, sind in dem Heft "Stadtanalyse mit räumlichen Informationssystemen - Bausteine für den Aufbau eines SRP-Labors" (Berlin: TUB/IS - Diskussionsbeiträge 16, 1991) dargelegt worden. Weitere Darstel­lungen werden folgen.

Das Agglomerationsmodell soll zunächst der Darstellung der sozialräumlichen Struktur der Großstadt dienen. Dabei werden die städtebaulichen und sozialen Verhältnisse Berlins zu­grundegelegt, aber derart verallgemeinert, daß sie ebenfalls für andere Agglomerationen dienen könnten. An diesem Beispiel sollen hier insbesondere die Mobilitätsverhältnisse in der Agglomeration demonstriert werden. Später soll das Modell zur Integration neuerer so­ziologischer Sichtweisen einerseits, zum wenigstens experimentellen Einsatz bei Pla­nungsuntersuchungen andererseits weiter entwickelt werden.

Bei solchen Arbeiten sind formale Darstellungen schon wegen der digitalen Repräsentation der sozialräumlichen Vorgänge unvermeidlich. Sie dienen zugleich der Vergewisserung, Präzisierung und empirischen Erprobung sozialwissenschaftlicher Behauptungen und Theoreme.

In der Soziologie ist die Diskussion der Probleme einer formalen Repräsentation von Theo­remen lange in den Hintergrund gedrängt worden. Es ist - nicht nur aus dem hier angeführ­ten pragmatischen Grunde - höchste Zeit, daß sich die Soziologie wieder damit befaßt und auf den neueren Diskussionsstand bringt.

Die hier vorgelegte Studie behandelt einen wichtigen Aspekt solcher Formalisierungsarbei­ten, gerade am Beispiel der formalen Repräsentation von Siedlungen und ihrer Probleme. Sie argumentiert, daß derartige Formalisierungen sich unmittelbar mathematischer Regeln bedienen muß. Die Etablierung von formalen Zwischenformen zwischen der Mathematik und ihrem Anwendungsgebiet, die sich als eigenständige Disziplinen verstehen und ent­wickeln, kann zu irreführenden Ergebnissen führen.

Solche Entwicklungen spielen auch in den Sozialwissenschaften zunehmend eine gewich­tige Rolle. Die hier vorgetragenen Überlegungen müssen demnach auch in entsprechen­den sozialwissenschaftlichen Arbeiten berücksichtigt werden. Das wird sowohl für die Arbei­ten am Agglomerationsmodell wie aber auch für darüberhinausgehende Arbeiten, die sich mit den Grundlagen der theoretischen Soziologie befassen, Konsequenzen haben.

Rainer Mackensen

Berlin, den 16. November 1992


 

0. Vorwort des Autors

Die vorliegende Arbeit entstand als ein Beitrag zum Forschungsvorhaben "Wissenschaftliche Grundlagen für die Schaffung und Anwendung komplexer mathemati­scher Modelle für eine integrierende Stadt- und Regionalplanung". Dieses Vorhaben wird seit Mai 1992 im Rahmen des "Wissenschaftler-Integrationsprogramms“ (WIP) unter der Nummer 020082/W gefördert und vom Verfasser bearbeitet.

Das WIP ist Bestandteil des in einer Bund/Länder-Vereinbarung am 11. Juli 1991 be­schlossenen "Erneuerungsprogramms für Hochschule und Forschung in den neuen Län­dern" (HEP). Über das WIP soll die Eingliederung von Forschergruppen und Einzelwissen­schaftlern der ehemaligen Akademie der Wissenschaften der DDR, der Bauakademie und der Akademie der Landwirtschaftswissenschaften in die Hochschulen angestrebt werden. Die am 26. September 1991 gegründete "Koordinierungs- und Aufbau-Initiative für For­schung in den neuen Ländern Berlin, Brandenburg, Mecklenburg-Vorpommern, Sachsen, Sachsen-Anhalt und Thüringen" (KAI e.V.) als Nachfolgeeinrichtung der "Koordinierungs- und Abwicklungsstelle für die Institute und Einrichtungen der ehemaligen Akademie der Wissenschaften" (KAI-AdW) organisiert über Förderverträge die administrative Durchfüh­rung des WIP.

Der Autor dieses Beitrags war nach dem Studium an der Universität Leipzig von Anfang 1963 bis Ende 1990 als Dipl.-Wirtschaftsmathematiker ununterbrochen an der Bauakade­mie der DDR tätig, viele Jahre als Themengruppenleiter im Rechenzentrum und ab Oktober 1986 als wissenschaftlicher Mitarbeiter des Instituts für Städtebau und Architektur. Ab 1963 befaßte er sich mit der Schaffung und Anwendung mathematischer Modelle und Methoden sowie dem Einsatz der EDV im Bauwesen und Städtebau der DDR. Als im Jahre 1970 die Politik der SED-Führung scheiterte, die Operationsforschung als ein entscheidendes In­strument zur Realisierung ihrer Wirtschaftspolitik einzusetzen, bemühte sich der Autor im Verlaufe mehrerer Jahre u.a. um eine stärkere wissenschaftliche Begründung der Operati­onsforschung. Aber bereits 1973 entstanden erste Zweifel an ihrer objektiven Berechtigung. Der Autor gelangte zur These, daß im Prozeß der Schaffung und Anwendung mathemati­scher Modelle und Methoden zwischen inhaltlich-mathematischen und abstrakt-mathemati­schen Formen unterschieden werden müsse. Ausgehend davon kam er zur Vermutung, daß Zwischendisziplinen zwischen der Mathematik und den sie nutzenden Einzelwissen­schaften keine objektive Berechtigung besitzen dürften. Im vorliegenden Beitrag versucht der Autor, diese These zu beweisen. Damit wird ein Teil seiner Forschungsergebnisse erstmals detailliert veröffentlicht. Die Ergebnisse der Forschungen aus den siebziger und achtziger Jahren schließen neben Erkenntnissen zur verbesserten wissenschaftlichen Fundierung der Nutzung der Mathematik in den Einzelwissenschaften auch Arbeiten auf dem noch wenig entwickelten Gebiet der Ökonomie des Städtebaus ein. Sie sollen später veröffentlicht werden. Es mag für den Philosophen und auch für den Ökonomen unge­wöhnlich sein, daß sich der Autor als Absolvent einer mathematisch-naturwissenschaftli­chen Fakultät ein wenig in ihren wissenschaftlichen Arbeitsgegenstand hineingewagt hat, aber der Autor ist davon überzeugt, daß nur über interdisziplinäres Arbeiten, nur über den Weg des Eindringens in die gesamte mit der Nutzung der Mathematik in einer bestimmten Einzelwissenschaft verbundenen Problematik die Möglichkeit bestand, die nach dem Scheitern der Operationsforschung entstandene Klippe zu überspringen. Dazu war es not­wendig, sowohl in mathematischer, methodologischer, ökonomischer, philosophischer und historischer Hinsicht als auch bezüglich fachbezogener Probleme aus dem Bauwesen und Städtbau eigenständige Standpunkte zu bearbeiten.

Bemühungen des Autors seit dem Jahre 1978, seine Forschungsarbeiten der Fachöffent­lichkeit der DDR zugänglich zu machen, schlugen letztlich fehl. Im Jahre 1978 wandte er sich in interner Form mit Thesen an mehrere Persönlichkeiten zentraler Forschungseinrich­tungen der DDR. In den Jahren danach beantragte er, zur im nachfolgenden Beitrag vor­gestellten Thematik und zu einem tangierenden Thema auf den in der DDR 1982, 1985 und 1989 organisierten internationalen wissenschaftlichen Tagungen "Mathematik und Ky­bernetik in der Ökonomie" auftreten zu dürfen, was in keinem Falle zustande kam. Auf einer intern durchgeführten Vortragsveranstaltung am 7. Mai 1986 im Zentralinstitut für Philoso­phie der Akademie der Wissenschaften erhielt er bedingt Unterstützung.

Die Ursachen der öffentlichen Nichtakzeptanz der vorgestellten und von damit in Zusam­menhang stehenden Forschungsergebnissen sieht der Autor darin, daß ausgehend von ih­nen eine Fehlerdiskussion zur 1970 revidierten Wirtschafts- und Wissenschaftspolitik der SED befürchtet wurde.

Am 14. November 1991 und am 18. Juni 1992 erhielt der Autor von Herrn Professor Dr. Rainer Mackensen von der Technischen Universität Berlin die Möglichkeit, Ergebnisse sei­ner Forschungen im Rahmen des Workshops des Stadt- und Regionalplanungslabors (SRP-Labor) vorzutragen. Die hiermit vorgelegte Veröffentlichung entstand mit Unterstützung Prof. Mackensens.

Werner Grundmann

Berlin, den 30. November 1992


 

1. Einleitung

In der derzeitigen Etappe der Wissenschaftsentwicklung, der Integration der Wissenschaf­ten und des Entstehens von immer mehr Disziplinen zwischen ihnen, erscheinen Zweifel an der objektiven Berechtigung von Disziplinen zwischen der Mathematik und den sie nutzen­den Einzelwissenschaften[1] als sehr fragwürdig. Es gibt jedoch eine Reihe von Besonderheiten in den Beziehungen zwischen der Mathematik und den Einzelwissenschaften sowie Indizien, die in der Tat gegen die objektive Berechtigung von Wissenschaftsdisziplinen zwischen den Einzelwissenschaften und der Mathematik sprechen. Für den Verfasser ergaben sich derlei Zweifel in einem langen Prozeß der Schaffung und Anwendung ökonomisch-mathemati­scher Modelle.

Nachfolgend wird erstens skizziert, woraus die Zweifel an der Berechtigung von Wissen­schaftsdisziplinen zwischen der Mathematik und den sie nutzenden Einzelwissenschaften prinzipiell resultieren; zweitens wird versucht nachzuweisen, daß beim Übergang von einer Einzelwis­senschaft zur Mathematik kein Platz für Zwischendisziplinen bleibt. Wesentlich für diese Nachweis sind die Annahmen, daß

- erstens im Prozeß der Nutzung der Mathematik in den Einzelwissenschaften zwischen in­haltlich-mathematischen Formen als Bestandteile der Einzelwissenschaften und abstrakt-mathematischen Formen als Bestandteile der Mathematik unterschieden werden kann,

- zweitens beim Übergang von inhaltlich-mathematischen zu abstrakt-mathematischen For­men neben den mathematischen Zeichen insbesondere die formalen inhaltlichen Anteile innerhalb der inhaltlich-mathematischen Formen interessieren.

 

Der Übergang von einer Einzelwissenschaft zur Mathematik läßt sich als Folge eines Ab­straktions- und eines Konkretionsprozesses beschreiben. Dabei wird vom formalen in­haltlichen Anteil einer inhaltlich-mathematischen Form ausgegangen, von deren nichtforma­lem spezifischem fachlichem Inhalt abstrahiert und die erhaltene Zwischenform durch Ver­allgemeinerung des formalen Inhalts zu einer abstrakt-mathematischen Form konkretisiert. Bei diesem Übergang bleibt kein Platz für mathematische Formen, die Gegenstand von Zwischendisziplinen sein könnten.

 

Bei Bestätigung dieser Herangehensweise resultiert die objektive Berechtigung der Mathe­matik unter anderem daraus, daß außerordentlich viele inhaltlich-mathematische Problem­stellungen gleichartigen formalen Anteils innerhalb der inhaltlich-mathematischen Formen über nur wenige Typen von abstrakt-mathematischen Problemen bearbeitet werden kön­nen.


 

2. Erfahrungen  und  Erkenntnisse  gegen die  objektive  Berechtigung  von  Wissen-

    schaftsdisziplinen zwischen der Ökonomie und der Mathematik

Die Vermutung, daß an der objektiven Berechtigung der Operationsforschung (Unternehmensforschung, Planungsforschung, Operations Research) als wissenschaftliche Methode bzw. als wissenschaftliche Disziplin speziell und von Zwischendisziplinen zwischen der Ma­thematik und der Ökonomie allgemein gezweifelt werden muß, ergab sich für den Verfasser im Verlaufe der siebziger Jahre im Prozeß der Schaffung und Anwendung mathematischer Modelle und Methoden für die städtebauliche Planung sowie für die operative Planung der Bauproduktion. Insbesondere ausgehend von der Tätigkeit des Autors in einer Arbeits­gruppe des Wohnungsbaukombinates Rostock in den Jahren 1966 bis 1968[2] sowie im Prozeß der Schaffung und mehrfachen Anwendung des komplexen Optimierungsmodells OMBESA im Bezirk Karl-Marx-Stadt in den Jahren 1970 bis 1976[3],[4] entstanden Zweifel an der berechtigten Anerkennung der sogenannten Standardmodelle bzw. Modelle der Opera­tionsforschung als mathematische Modelle und damit der Operationsforschung generell.

Die Zweifel an der objektiven Berechtigung der Operationsforschung ergaben sich zusam­menfassend aus folgenden Erfahrungen und Erkenntnissen:

a) Die Annahme, daß Standardmodelle der Operationsforschung Problemsituationen der Planungspraxis im allgemeinen richtig widerspiegeln können, konnte im Prozeß der ma­thematischen Modellierung verschiedenartiger praktischer Problemstellungen vom Ver­fasser nicht bestätigt werden. Zwar führten die Bemühungen zur mathematischen Be­schreibung von Planungsproblemen auf mathematische Formen, die bei starker Vereinfa­chung dem einen oder anderen Standardmodell ähnelten, jedoch erwies es sich als grundsätzlich falsch, Standardmodelle als inhaltliche Ausgangspunkte für ökonomische Betrachtungen zu wählen. Die sogenannten Standardmodelle waren nicht nur viel zu simpel, um Problemsituationen annähernd realistisch widerzuspiegeln - weitaus bedeut­samer war die Erkenntnis, daß die allgemeine Struktur der Standardmodelle der allge­meinen Problematik von Planungsproblemen nicht adäquat ist. Dies gilt insbesondere für die inhaltliche Stellung der Zielfunktionen und der Nebenbedingungen innerhalb der so­
genannten Standardmodelle. Die Wahl der Begriffe Zielfunktion
[5] und Nebenbedingung5 durch die deutschsprachigen Vertreter der Unternehmens- und Operationsforschung5 impliziert deren primäre bzw. sekundäre inhaltliche Bedeutung in dem Sinne, daß über die Zielfunktion für jede Lösungsvariante berechenbar sein soll, welcher Wert für die ent­scheidende Zielstellung erreicht wird, während die Nebenbedingungen das Erreichen die­ser Zielstellung einschränken. Die Dominanz des Begriffes Zielfunktion wurde soweit ge­trieben, daß ihn sogar Politiker statt "Zielstellung" oder "Zielsetzung" in ihren Sprachge­brauch übernahmen - obgleich er doch aus der Sicht der Fachvertreter eindeutig als ma­thematischer Begriff gemeint war.

Bei umfassender Betrachtung muß man konstatieren, daß mit Hilfe der "Zielfunktion" nur in bestimmten Fällen die entscheidende Zielstellung, die bei Realisierung einer Lösungs­variante erreicht werden soll, ausgedrückt werden kann, z.B. dann, wenn ein maximaler Gewinn unter der Voraussetzung angestrebt wird, daß es gleichgültig ist, welche Erzeug­nisse produziert werden. Für mathematische Modelle aus jenem Bereich, den die Öko­nometrie beansprucht, sowie für Optimierungsprobleme der realsozialistischen Planwirt­schaft aller Ebenen und auch für städtebauliche Planungsprobleme dürfte es hingegen - bis auf Ausnahmen - weder sinnvoll noch möglich sein, über Zielfunktionen die entschei­denden Zielstellungen ausdrücken zu wollen. Dazu bedarf es vielmehr einer Anzahl "Nebenbedingungen", die damit zu den Hauptbedingungen des Optimierungsproblems werden. Das trifft beispielsweise für die Einhaltung von Vorgaben zur Produktion bestimm­ter Erzeugnisarten zu, etwa für jene nach dem Bau von Wohnungen vorgegebe­ner Größe und Ausstattung. Für den Praktiker stellt es ja oftmals das entscheidende Problem dar, überhaupt eine Lösungsvariante zu finden, die allen gestellten Anforderun­gen gerecht wird. Damit hat aber die "Zielfunktion" in der Tat nur sekundäre Bedeutung. Sie dient, falls sie gebraucht wird, lediglich zur Bewertung der verschiedenen Lösungsva­rianten, so daß der Begriff Zielfunktion zweckmäßigerweise durch den Begriff Bewertungs­funktion zu ersetzen wäre.

Die dargelegte Auffassung bedeutet, daß die Begriffe Zielfunktion und Nebenbedingun­gen unzulässiger Verallgemeinerung aus Bereichen der marktwirtschaftlichen Produktion entspringen. Die Verallgemeinerung war möglich durch das überzogene Herausheben der Stellung der Zielfunktionen und durch das Verselbständigen der im ökonomischen Be­reich angewandten Optimierungsmodelle. Das Überhöhen der Bedeutung der Standard­modelle gipfelte schließlich in der These, daß sie "klassenindifferenten" Charakter besit­zen.[6] Ein Beibehalten der These von den "Standardmodellen" mußte nach Auffassung des Verfassers allgemein zum Scheitern der Operationsforschung führen. Dabei dürfte es sekundär sein, ob man statt von Standardmodellen besser von "mathematischen Model­len der Unternehmensforschung" oder von "Operations Research-Modellen" (O.R.-Model­len) spricht.

Die Kritik an der Nutzung jener mathematischen Formen, die als Standardmodelle der Operationsforschung bezeichnet werden, würde sich dann weitestgehend erübrigen, wenn sie als Gegenstand der Mathematik, d.h. als abstrakt-mathematische Formen, betrachtet würden. Als Bestandteile von abstrakt-mathematischen Problemstellungen sind sie glei­chermaßen unter unterschiedlichen gesellschaftlichen Bedingungen bedeutsam.

b) Beim Versuch der Übertragung von "Standardmodellen" aus dem Bereich der Produktion auf die Optimierung von Prozessen der Nichtproduktionssphäre, z.B. bei der Anwendung von mathematischen Modellen, die eine Aufwandsminimierung einschließen, ergaben sich eine Reihe von Widersprüchen, die dazu zwangen, das verwandte Optimierungskri­terium zu überprüfen. Es zeigte sich, daß auf bestimmten Gebieten, wie z.B. im Städte­bau, wo die Minimierung der Bauaufwände als primär angesehen wurde, aus der Sicht eines komplexen ökonomischen Denkens objektiv andere Bewertungskriterien anzuwen­den sind - ohne das (inhaltlich nachgelagerte) Aufwandsdenken auszuschließen!

Derartige Kriterien müssen ermöglichen, sowohl den Zustand der vorhandenen Bausub­stanz, deren voraussichtlichen Verschleiß als auch Varianten von Baumaßnahmen zur Veränderung der Bausubstanz einheitlich ökonomisch zu bewerten. Optimierungsmodel­le, die diesen Anforderungen entsprachen, waren vordem nicht bekannt. Als allgemeine Erkenntnis ergab sich, daß es zur Ermittlung wissenschaftlicher Ergebnisse mit Hilfe ma­thematischer Planungsmodelle nicht ausreicht, die für die Bearbeitung bekannter Pro­blemstellungen geschaffener Modelle den neuen Gegebenheiten anzupassen oder sie nur richtig zu interpretieren, sondern es muß jede inhaltlich neuartige Problemsituation auch in mathematischer Form neu beschrieben werden. Die spezielle Erkenntnis war, daß dem inhaltlichen Charakter eines Planungsproblems der Charakter des zu wählenden Optimierungskriteriums entsprechen muß, so daß z.B. Lösungen von Effektivitätsproble­men, die im inhaltlichen Sinne Maximierungsprobleme darstellen, nicht nach den bei ihrer Realisierung zu erwartenden Kosten zu bewerten sind.

c) Aus der berechtigten Auffassung, daß mathematische Modelle Problemsituationen nur näherungsweise beschreiben können, und der Befürchtung, daß die Anwendung kompli­zierter mathematischer Modelle an der Verfügbarkeit entsprechender mathematischer Methoden und deren rechentechnischer Lösbarkeit scheitern könnte, gaben sich die Ver­treter der Operationsforschung anfangs entweder mit der Anwendung relativ einfach strukturierter ökonomisch-mathematischer Modelle zufrieden, oder sie versuchten, zu lö­sende Probleme bei Verzicht auf die Schaffung relativ abgrenzbarer mathematischer Mo­delle sofort algorithmisch zu bearbeiten. Beide Vorgehensweisen implizieren, ökonomi­sche Probleme lösen zu wollen, ohne sie ausreichend erkannt und in mathematischer Form beschrieben zu haben. "Lösungen", die über ein solches Vorgehen ermittelt wur­den, brauchen nicht umsetzbar zu sein oder können zu großen ökonomischen Verlusten führen, so daß diesen Verfahren traditionelle Vorgehensweisen erfahrener Praktiker im allgemeinen vorzuziehen sind. Später, als hinreichend Erfahrungen mit zu simplen ma­thematischen Modellen gesammelt worden waren sowie die überarbeiteten und erweiter­ten Modelle auch keine zufriedenstellenden Erfolge brachten, versuchten die Vertreter der Operationsforschung, die Komplexität der zu lösenden Probleme dadurch zu bewältigen, daß sie vorhandene Modelle algorithmisch verknüpften. Man sprach von der Kopplung von Modellen bzw. von Modellverbindungen, ohne erkannt zu haben, daß es sich bei den gekoppelten (im formalen Sinne abgeschlossenen) Modellen im inhaltlichen Sinne i.a. um Modellteile handelte. Aber genausowenig, wie die Gesamtheit irgendwie zusammengefüg­ter Teile bereits etwas funktionsfähiges Ganzes ergibt, konnten die gekoppelten Modelle kein nutzungsfähiges "Modellsystem" bilden. Solche Modellverbindungen waren lediglich Ausdruck unzureichend erkannter Komplexität. Selbst für solche Modelle, die von vorn­herein auf die Erfassung komplexer Zusammenhänge orientierten, wie z.B. den Verflech­tungsmodellen, gilt, daß auch sie nur einen begrenzten Ausschnitt der objektiv gegebe­nen Komplexität des betrachteten Systems widerspiegeln, daß z.B. ein Verflechtungsmo­dell eigentlich Teil eines Optimierungsmodells sein müßte.

Für den Autor gab es nur einen Ausweg aus dem Dilemma: Es mußte versucht werden, einen aus der Planungspraxis gegebenen komplexen inhaltlichen Zusammenhang über eine adäquate mathematische Form, d.h. über ein komplexes mathematisches Modell abzubilden, das im inhaltlichen Sinne nicht aufspaltbar sein darf.

Der Versuch, am Beispiel der Schaffung des bereits zitierten komplexen mathematischen Modells OMBESA herauszufinden, wie sich die Komplexität inhaltlich äußert, führte zur These, daß der inhaltliche Kern komplexer Problemstellungen aus den gesellschaftlichen Bereichen ökonomischer Natur sein dürfte, d.h., die entsprechenden mathematischen Modelle müßten ökonomische Wirkungsmechanismen bzw. die Wirkungsweise ökonomi­scher Gesetze im Rahmen der gesamten durch sie erfaßten komplexen inhaltlichen Pro­blematik in sich einschließen. Im Falle des OMBESA war dieser Kern die Problematik des Verschleißes und der Reproduktion der Bausubstanz in ihrem möglichen zeitlichen Ver­lauf. Der Beweis der fixierten These würde rechtfertigen, bei solchen Modellen von kom­plexen ökonomisch-mathematischen Modellen zu sprechen.

d) Die Beantwortung der Frage, wie die in mathematischer Form zu erfassenden komplexen Zusammenhänge abzugrenzen sind, steht in enger Verbindung mit der Existenz real ge­gebener Systeme. In den gesellschaftlichen Bereichen sind komplexe Zusammenhänge i.a. Systemzusammenhänge. Die Möglichkeit und Notwendigkeit, gesellschaftliche, öko­nomische und andere Systeme in ihrer gedanklichen Widerspiegelung abzugrenzen, existiert im horizontalen, vertikalen und zeitlichen Sinne. Sie bilden in der Gesellschaft, speziell auch in der Wirtschaft, Systemhierarchien. Die Analyse der Struktur gegebener Systeme erwies sich für den Verfasser als unabdingbare Voraussetzung für die Schaffung abgrenzbarer mathematischer Modelle. Die entscheidenden Hinweise, welche grundsätz­liche Bedeutung systemanalytische Untersuchungen als Voraussetzung für die mathema­tische Modellierung insbesondere auch in den ökonomischen Bereichen besitzen, fand der Autor im Jahre 1969 in einer Arbeit von Johannes Rudolph. Er schrieb: "Die Kybernetik bildet eine nicht überspringbare Vorstufe zur Anwendung der Mathematik."[7] ... "Es sind jene Arten von ökonomischen Systemen herauszuarbeiten, die in der sozialistischen Wirtschaft objektiv existieren."[8] ... "Der beschwerliche Weg der wissenschaftlichen Er­kenntnis, ökonomische Systeme in all ihre wesentlichen Elemente zu zergliedern, ist heute unumgänglich."[9] Diese und andere Ausführungen Rudolphs betrachtete der Autor für seine weiteren Arbeiten als außerordentlich bedeutsam.

Das Bemühen, mathematische Formen zu erarbeiten, die den realen Gegebenheiten adäquat sind, kann natürlich nicht darin gipfeln, alles Reale in einem mathematischen Modell erfassen zu wollen. Das ist unmöglich, aber auch nicht erforderlich. Betrachtet man ein System innerhalb der Systemhierarchie, dürfte es - obgleich dies schwierig ge­nug sein kann - offensichtlich genügen, seine wesentliche innere Struktur in der für die Systemebene entsprechenden Genauigkeit zu erfassen, d.h., die Erfassung der komple­xen Zusammenhänge ist erforderlich in einer bestimmten notwendigen Feinheit und zu­lässig in einer bestimmten möglichen Grobheit.

Aber im erkenntnistheoretischen Sinne muß die Problematik der mathematischen Model­lierung von sich entwickelnden gesellschaftlichen Systemen wohl noch weitreichender und prinzipieller gesehen werden. Es genügt offensichtlich nicht allein, die im gesellschaftli­chen System wirkenden ökonomischen Mechanismen zu erkennen. Gleichfalls unver­zichtbar ist die Kenntnis des dynamischen Aspektes, d.h. der möglichen Veränderungen des Systems sowie des Entstehens und Vergehens von Systemen. Solche Veränderun­gen mit Hilfe mathematischer Formen statischer Natur beschreiben zu wollen, wäre eben­so unzulässig, wie diskrete Veränderungen als kontinuierliche Verläufe darzustellen. Schließlich muß es im allgemeinen gleichfalls abgelehnt werden, bestimmte stochasti­sche Zusammenhänge in determinierter Form modellieren zu wollen.

Es kann nicht ausgeschlossen werden, daß alle genannten und weitere grundlegende Aspekte selbst innerhalb eines Systems in so starkem Maße wirken, daß sie bei der Schaffung eines komplexen mathematischen Modells zur Beschreibung der Entwicklung des Systems objektiv berücksichtigt werden müssen. Dem zu entsprechen, bedeutet, ei­nen besonderen Weg in der mathematischen Modellierung einschlagen zu müssen: den Weg zur Nutzung der mathematischen Modellierung als ein Mittel der Erkenntnisgewin­nung, im gegebenen Falle zur Erforschung der inneren Struktur und der Wirkungsweise des Systems. Aber genausowenig, wie ein solches System vollständig erforscht werden kann, gilt dies für den möglichen endgültigen Abschluß der Arbeiten am zugehörigen komplexen mathematischen Modell. D.h., in der mathematischen Modellierung sollten zumindest zwei Wege gegangen werden. Der eine Weg muß dem Erkennen der objekti­ven Realität an sich dienen, ohne daß zunächst nach der Lösbarkeit der inhaltlich-ma­thematischen Problemstellung gefragt wird; der andere Weg sollte, ausgehend von den Ergebnissen des erstgenannten Weges, zu anwendbaren, zu praktikablen mathemati­schen Modellen führen, die auch erfolgreich mathematisch-rechentechnisch bearbeitbar sind.

Das gleichzeitige Anerkennen von "Standardmodellen" und erkenntnisorientierten ma­thematischen Modellen ist sicher unvereinbar. Und selbst für praktikable mathematische Modelle muß eine übermäßige Simplifizierung, wie sie bei den "Standardmodellen" der Fall wäre, abgelehnt werden, wenn die Ergebnisse ihrer Anwendung den realen Bedin­gungen prinzipiell entsprechen sollen, beispielsweise wenn sie die notwendige Berück­sichtigung des möglichen zeitlichen Verlaufs ökonomischer Prozesse einschließen.


 

3.  Zur möglichen Abgrenzung  zwischen den  Einzelwissenschaften und der  Mathe-
     matik

Die aus praktischen Untersuchungen und durch Erfahrungen auf ökonomischem Gebiet empirisch gewonnene Denkweise, daß mathematische Modelle immanenter Bestandteil von Einzelwissenschaften sein müssen, bzw. sich aus der Nutzung von Erkenntnissen dieser Wissenschaften zur Beschreibung realer Zusammenhänge ergeben und daß allgemein keine objektive Berechtigung für mathematische Formen besteht, die zwischen den Ein­zelwissenschaften und der Mathematik einzuordnen wären, bedarf einer präzisen Begrün­dung. Sie soll im folgenden durch die Analyse des Übergangs von inhaltlich-mathemati­schen Formen, als Gegenstand der Einzelwissenschaften, zu abstrakt-mathematischen Formen, als Gegenstand der Mathematik, versucht werden. Vom Nachweis, daß neben diesen beiden genannten Typen mathematischer Formen kein weiterer Typ erforderlich ist, soll die Antwort auf die Frage nach der objektiv notwendigen Negation von Disziplinen zwi­schen den Einzelwissenschaften und der Mathematik abhängig gemacht werden.[10]

3.1. Über inhaltlich-mathematische Formen

Unter inhaltlich-mathematischen Formen werden nachfolgend solche inhaltlichen Aussagen mathematischer Formen verstanden, die der Beschreibung der objektiven Realität, insbe­sondere auch der Beschreibung ihrer natürlichen Entwicklung und ihrer bewußten Verän­derung dienen. Zu ihnen gehören inhaltlich-mathematische Symbole, inhaltlich-mathemati­sche Terme, inhaltlich-mathematische Beziehungen, mathematische Modelle und Systeme mathematischer Modelle. Inhaltlich-mathematische Formen können nur solche in den Sprachen der Mathematik formulierten Aussagen sein, die die formalen Regeln der Mathe­matik nicht verletzen.

Inhaltlich-mathematische Symbole werden in Form von Alpha-Zeichen unter Nutzung von Buchstaben eines oder mehrerer Alphabete als Kurzbezeichnung für konstante oder varia­ble Größen sowie für Mengen realer und möglicher realer Bedeutung eingeführt, wobei für gleichartige Größen oder Mengen ein gleiches Symbol (Grundsymbol) verwandt wird. Sie können einfach oder mehrfach indiziert sein.

Jeweils ein Index oder mehrere numerische Indizes werden einem Grundsymbol beigefügt, um ausdrücken zu können, daß es sich bei den gleichartigen um unterschiedliche Größen oder Mengen handelt. Z.B. lassen sich verschiedene Längen, abgekürzt durch das gleiche Grundsymbol l, dennoch unterschiedlich in der Form l1, l2, ... ausdrücken. In fast allen Fäl­len sind die numerischen Indizes natürliche Zahlen, einschließlich der Null. Durch die Wahl unterschiedlicher allgemeiner Indizes können unterschiedliche Eigenschaften einer Größe oder Menge gekennzeichnet werden, z.B. im Symbol für die Liefermenge  der Index i zur Kennzeichnung der Nummer des Lieferers Li und der Index t zur Angabe des t-ten Zeitab­schnittes Zt der Lieferung.

Inhaltlich-mathematische Terme entstehen, indem inhaltlich-mathematische Symbole un­tereinander oder mit abstrakt-mathematischen Symbolen[11] über mathematische Operati­onszeichen verknüpft werden. Durch die Verwendung bestimmter mathematischer Zeichen, wie z.B. von Summen- oder Produktzeichen, können Terme zuweilen weiter verkürzt dar­gestellt werden. In Abhängigkeit von den Verkürzungsarten innerhalb inhaltlich-mathemati­scher Terme kann von inhaltlich-mathematischen Termen einfacher oder komplizierter Struktur gesprochen werden. Im elementaren Falle sind einzelne inhaltlich-mathematische Symbole als inhaltlich-mathematische Terme aufzufassen.

Werden inhaltlich-mathematische Terme über Gleichheits- oder Ungleichheitszeichen zu­einander in Beziehung gestellt, entstehen inhaltlich-mathematische Beziehungen. Zu ihnen gehören auch jene inhaltlich-mathematischen Formeln, die der Beschreibung von Naturge­setzen dienen, wie z.B. die bekannte Einstein'sche Formel E = m*c2.

Mathematische Modelle bestehen im allgemeinen aus einer Gesamtheit zusammengehöri­ger Gleichungen und/oder Ungleichungen, d.h. einem System inhaltlich-mathematischer Beziehungen. Ihre Zusammengehörigkeit erwächst daraus, daß die jeweiligen Gleichungen oder Ungleichungen innerhalb eines inhaltlichen Zusammenhangs gleichzeitig gelten. Sie äußert sich im formalen Sinne durch das Auftreten gleicher Variablen in unterschiedlichen inhaltlich-mathematischen Beziehungen. Mathematische Modelle verfügen damit - im all­gemeinen Falle - zumindest über eine komplexe Struktur. Im elementaren Falle - bezogen auf die Struktur - sind einzelne inhaltlich-mathematische Formeln einfacher bzw. komplizier­ter Struktur bereits als mathematische Modelle aufzufassen.[12] Dabei sagt die Art der Struktur nicht unbedingt etwas über die Schwierigkeit ihrer Erarbeitung sowie über ihre Be­deutsamkeit aus.

Mathematische Modelle dienen einerseits dem Erkennen und Beschreiben realer oder möglicher realer Zusammenhänge, andererseits - bei Einordnung in inhaltlich-mathemati­sche Problemstellungen - als Basis für die Berechnung unbekannter Größen oder auch für die Vorausberechnung von Entwicklungsverläufen und künftiger Zustände. Um derartige Berechnungen vornehmen zu können, kann es erforderlich sein, spezielle oder allgemeine mathematische Lösungsmethoden zu erarbeiten.

Eine inhaltlich-mathematische Problemstellung ist eine Aussage in der Einheit von verbaler und mathematischer Form[13], die für einen real gegebenen relativ abgrenzbaren Zusam­menhang ausgehend von bekannten Daten auf Basis der formalisierten Darstellung des Zusammenhangs auf die Ermittlung bisher unbekannter Daten, Verläufe oder Zustände orientiert. Dabei bildet ein mathematisches Modell den Kern der Problemstellung. Inhaltlich-mathematische Problemstellungen sind ideelle Widerspiegelungen realer Gegebenheiten. Sie können sich in Abhängigkeit von der Art des Zusammenhangs qualitativ unterscheiden. Ist der Zusammenhang determiniert, wie dies insbesondere bei Untersuchungen der unbe­lebten Natur anzutreffen ist, gilt es insbesondere, die Art und die Wirkungsweise der dem Zusammenhang innewohnenden Gesetzmäßigkeiten zu erkennen und in mathematischer Form zu fixieren, um ausgehend davon zu neuen unbekannten Aussagen zu gelangen.[14] Sind jedoch an einem betrachteten Zusammenhang Lebewesen (Pflanzen, Tiere, Men­schen) beteiligt, können Problemsituationen mit Auswahlcharakter entstehen. Ausgehend von äußeren Einflüssen und inneren Widersprüchen kann es kurzzeitig oder im Verlaufe von historischen Zeiträumen zu verschiedenartigen Anpassungen und Verhaltensweisen der beteiligten Lebewesen so weit kommen, daß bestimmten für das Funktionieren oder gar Überleben wesentlichen Kriterien bestmöglich entsprochen wird[15] oder daß sie - bei un­zureichendem Anpassen oder falschem Verhalten - gefährdet sind und sterben oder aus­sterben.

Würde man derartige Zusammenhänge in mathematischer Form beschreiben, ergäben sich als inhaltlich-mathematische Problemstellungen Optimierungsprobleme. Sie sind ge­genüber determinierten Problemstellungen von neuer Qualtität, insbesondere in bezug auf die Auswahlbereiche möglicher (in der Sprache der Mathematik "zulässiger") Lösungen und hinsichtlich der notwendigen Bewertungsmöglichkeit all dieser Lösungen. Die Bewert­barkeit muß deshalb gesichert sein, um Lösungen quantitativ unterscheiden und damit beste ("optimale") Lösungen überhaupt auswählen zu können. Das Bewerten setzt voraus, daß erstens ein Maß (ein Optimierungskriterium) gefunden werden kann und zweitens die­ses in inhaltlich-mathematischer Form über einen Maßstab (Bewertungsfunktion[16], "Zielfunktion") anwendbar sein muß.

Wenn die Natur - auf welche Weise auch immer - Möglichkeiten gefunden hat, optimale Lösungen selbsttätig zu finden, so bedeutet dies

- erstens, daß Probleme nicht nur im ideellen Sinne, d.h. im Bewußtsein von Menschen existieren, sondern auch in materialisierter Form unabhängig von ihrem bewußten Wahr­nehmen,

- zweitens, daß das Beschreiben derartiger "materieller" Probleme ein Gegenstand wissen­schaftlicher Arbeit sein muß und insbesondere auch die der natürlichen Auswahl zugrun­de liegenden Kriterien objektiven Charakter besitzen müssen,

- drittens, daß es im Prozeß der Entwicklung der menschlichen Gesellschaft auch Aus­wahlprobleme geben kann, für die von den Menschen unbewußt optimale oder zumindest näherungsweise optimale Lösungen angestrebt werden.

Die vom Autor vermutete erforderliche Unterscheidung zwischen ideellen Problemen, die im Bewußtsein von Menschen existieren, und materiellen (materialisierten) Problemen, die in der Realität bewußtseinsunabhängig gegeben sind, macht eine sprachliche Unterschei­dung notwendig.

Im folgenden werden jene in der Realität, d.h. in der Natur, der menschlichen Gesellschaft und im menschlichen Denken, objektiv gegebenen Auswahlprobleme, deren optimale oder näherungsweise optimale Lösung sich unabhängig vom menschlichen Bewußtsein vollzie­hen kann, als Optimalitätsprobleme bezeichnet und die der Auswahl objektiv zugrunde lie­genden Kriterien als Optimalitätskriterien.

Eine Beschreibung eines Optimalitätsproblems in verbaler und mathematischer Form wird Optimierungsproblem, das der Bewertung subjektiv zugrunde gelegte Kriterium wird Opti­mierungskriterium sowie die aus dem System der Bedingungen und der Bewertungsfunk­tionen bestehende inhaltlich-mathematische Form, die den inhaltlichen Kern des Optmie­rungsproblems darstellt, wird Optimierungsmodell[17] genannt.

Erfahrungen in der Schaffung komplexer mathematischer Modelle für Optimalitätsprobleme der Entwicklung gesellschaftlicher Systeme zeigen, daß man ein System der Bedingungen relativ unabhängig vom Optimierungskriterium der Bewertungsfunktion betrachten kann, daß sich jedoch die Wahl des Optimierungskriteriums auf notwendige Veränderungen im System der Bedingungen auswirkt und schließlich daß sich jene Optimierungskriterien, die die im System der Bedingungen fixierten Zielstellungen am besten unterstützen, dem Op­timalitätskriterium am nächsten kommen. Das für den betrachteten Zusammenhang ent­scheidende Optimierungskriterium dürfte offensichtlich das Optimalitätskriterium sein, z.B. jenes, das am besten die weitere Existenz eines Systems sichern hilft. Es kann unter be­sonderen Bedingungen identisch sein mit der entscheidenden Zielstellung, die an ein Sy­stem gestellt wird. Letztlich sei vermerkt, daß nicht ausgeschlossen werden darf, ein Opti­malitätskriterium auch über mehrere gleichberechtigt nebeneinander stehende Bewertungs­funktionen quantifizierbar zu machen.

Handelt es sich bei einem betrachteten Optimalitätsproblem um ein Detail aus einem kom­plexen Zusammenhang, dann besteht ohne weiteres die Möglichkeit einer isolierten Be­schreibung und Bearbeitung des Detailproblems.[18] Geht es jedoch um die Betrachtung gegebener komplexer Zusammenhänge, insbesondere auch um die Untersuchung des op­timalen Funktionierens und der optimalen Entwicklung ganzer Systeme und um Systemhier­archien, so sind weitere Untersuchungen erforderlich.

Ein hierarchisches System ist - wie ein einzelnes seiner Systeme - gegenüber seiner Um­gebung relativ isoliert; während aber die einzelnen Systeme innerhalb einer Systemhierar­chie unterschiedliche Funktionen haben können, sind sie in ihrem Zusammenhang einer einheitlichen Zielstellung unterworfen. Sie bilden ein Gesamtsystem.[19] Wird nun versucht, für jedes einzelne System isoliert das optimale Funktionieren bzw. deren optimale Entwick­lung mit Hilfe jeweils eines Optimierungsmodells abzubilden, so ist es je System erforder­lich, dessen innere Struktur in jener notwendigen Genauigkeit und möglichen Grobheit zu erkennen, die der jeweiligen Systemebene objektiv entspricht. Zugleich wird es notwendig, jene Informationen zu ergründen, die als Eingangsinformationen aus vorgelagerter Sicht in das betrachtete System eingehen und jene, die von den nachgelagerten Systemen vom betrachteten System aus angefordert werden müssen, d.h., es geht um die richtige Wider­spiegelung der Einbettung aller nachgelagerten Systeme in das Gesamtsystem. Offensicht­lich gilt es also nicht nur, die Hierarchie der Teilsysteme im Zusammenhang zu erforschen, sondern auch die Hierarchie der Informationsströme von vorgelagerten zu nachgelagerten Systemen, und zwar einschließlich möglicher Rückkopplungen zur Korrektur von vorgege­benen Informationen. Die Informationen zu nachgelagerten Systemen sind Vorgaben, de­nen prinzipiell entsprochen werden muß, es sei denn, sie lassen sich objektiv von den nachgelagerten Systemen nicht erfüllen. In diesem Falle muß das vorgelagerte System neue Vorgaben ermitteln. In bestimmten Fällen wird es einer Anpassung des Gesamtsy­stems an jene neuen Bedingungen bedürfen, die über Informationen von außen an das Gesamtsystem herangetragen werden. Im Extremfalle, wenn die Anpassung nicht möglich ist, besteht Gefahr für die Existenz des Gesamtsystems.

Das Wesentliche für die mathematische Beschreibung des Gesamtzusammenhangs ist,

- daß erstens für jeden Systemtyp innerhalb der Systemhierarchie ein komplexes allgemei­nes mathematisches Modell zu schaffen ist, das die inneren Strukturen dieses Typs, des­sen Funktionsweise und die möglichen Veränderungen erfassen kann,

- daß sich zweitens bei praktischen Untersuchungen auch für Systeme gleichen Typs unter­schiedliche mathematische Modelle ergeben können,

- daß drittens die Gesamtheit aller numerischen mathematischen Modelle des Gesamtsy­stems nicht algorithmisch, sondern informationell miteinander zu verbinden ist, daß also ein zum Gesamtsystem objektiv gehöriges Informationssystem abzubilden ist, wobei auch die Abbildung der Informationsströme, deren Gesamtheit ein Informationsmodell bildet, inhaltlich-mathematische Gestalt annimmt. Es bestünde aus informationellen inhaltlich-mathematischen Formen.

Im genannten Sinne könnte man von einem System numerischer Optimierungsmodelle sprechen, das in ein Informationsmodell eingebunden ist. Den Bewertungsfunktionen der Optimierungsmodelle können unterschiedliche Optimierungskriterien zugrunde liegen, die im inhaltlichen Sinne gleichfalls hierarchischen Charakter besitzen. Die Optimierungsrech­nungen für die einzelnen Teilsysteme können nur zeitlich hintereinander erfolgen, was den realen Gegebenheiten sicherlich nicht entspricht. Erst beim Einsatz von sogenannten Paral­lelcomputern, die ein gleichzeitiges Berechnen unterschiedlicher Problemstellungen über eine Vielzahl eingebauter Mikrocomputer ermöglichen, käme man der "Arbeitsweise " der Natur näher.

Die dargelegte Betrachtungsweise unterscheidet sich offensichtlich wesentlich von der Ak­zeptanz sogenannter Modellsysteme der Operationsforschung, die aus algorithmischer Verknüpfung entstehen und komplexes Modelldenken ersetzen sollen.

In Verbindung mit der Beschreibung von Systemen mathematischer Modelle wurde ange­deutet, daß man inhaltlich-mathematische Formen nach allgemeinen und numerischen in­haltlich-mathematischen Formen unterscheiden kann. Eine allgemeine inhaltlich-mathema­tische Form beschreibt eine reale oder mögliche reale Gegebenheit für jeden gleichartigen Fall. Angewandt z.B. auf das bereits in Anmerkung 4 im Abschnitt 2 erwähnte Optimie­rungsmodell OMBESA[20], bedeutet dies, daß das komplexe mathematische Modell, ferner die in ihm enthaltenen mathematischen Beziehungen und Symbole allgemeine inhaltlich-mathematische Formen sind, die zur mathematischen Beschreibung der möglichen bauli­chen Entwicklung irgendeines Siedlungssystems der betrachteten Systemebene entspre­chend dem jeweiligen Erkenntnisstand benötigt werden.

Eine numerische inhaltlich-mathematische Form entsteht, wenn für einen betrachteten speziellen Anwendungsfall auf der Basis der allgemeinen Form für alle allgemeinen Symbo­le, die konstante Größen bezeichnen, numerische Werte ermittelt wurden sowie für alle all­gemeinen Mengensymbole die realen oder möglichen realen Objekte bekannt und mittels numerischer Indizes vollständig spezifiziert sind. Numerische inhaltlich-mathematische Formen enthalten damit nur noch (ggfs. numerisch indizierte) Variablen- und Mengensym­bole sowie numerische Werte und mathematische Zeichen. Als inhaltlich-mathematischen Formen können numerisch mathematischen Formen nur dann gelten, wenn alle der in ih­nen enthaltenen mathematischen Terme und Beziehungen inhaltliche Bedeutung besitzen.

 

Die Erstanwendung des allgemeinen Optimierungsmodells OMBESA betraf die mögliche bauliche Entwicklung des Siedlungsgebietes Karl-Marx-Stadt. Das numerische Modell um­faßte etwa 1200 inhaltlich-mathematische Beziehungen. Die entscheidenden Variablen des allgemeinen Modells hatten folgende Form:

             

als wesentliche Konstante traten z.B. auf:

             

Dabei hatte jede der indizierten Variablen und Konstanten eine genau fixierte allgemeine inhaltliche Bedeutung. Die achtfach indizierten Symbole y, a und c bedeuten Anzahlen an Wohnungseinheiten, Bauaufwendungen bzw. Kosten zur Realisierung einer Baumaß­nahme je Wohnungseinheit. Sechsfach indizierte Symbole betreffen m2 Geschoßfläche ge­sellschaftlicher Einrichtungen. Die Variablen w stehen für unbekannte Einwohnerzahlen am Ende eines Zeitabschnitts. Die Indizes spezifizieren die Variablen und Konstanten: j gibt die Nummer der territorialen Einheit an, t die Nummer der Gebäudegrößenstufe und d jene der Baualtersgruppe. Die Paare (n,n') verweisen auf die Art der Erhaltungsmaßnahme, (s,s') auf die Veränderung der Ausstattung der Wohnungseinheit im Rahmen der Baumaßnahme.

In der numerischen Darstellung für ein spezielles Siedlungssystem sind alle Indizes ganze Zahlen. Die Variablen haben dann z.B. die Form

             

während die Konstanten numerische Werte annehmen. Je nachdem, wieviele Werte die einzelnen Indizes im betrachteten Siedlungsgebiet annehmen, können hunderte oder tau­sende Variable in einem numerischen Modell auftreten, wobei jede einzelne Variable im all­gemeinen nur in wenigen inhaltlich-mathematischen Beziehungen vorkommt, und die Stel­lung der Indizes am Symbol sowie ihr ganzzahliger Wert die inhaltliche Bedeutung der Va­riablen spezifiziert.

3.2. Über abstrakt-matematische Formen

Die Mathematik arbeitet mit abstrakt-mathematischen Formen. Sie entstehen im allgemei­nen aus inhaltlich-mathematischen Formen durch Abstrahieren von einem Teil des Inhalts oder aus internen Betrachtungen der Mathematik z.B. im Rahmen der Entwicklung der mathematischen Theorie.[21],[22] Abstrakt-mathematische Formen können numerische oder allgemeine abstrakt-mathematische Formen sein. Zu den abstrakt-mathematischen Formen gehören im elementaren Falle

- die numerischen Zahlen, d.h. die natürlichen, ganzen, rationalen, reellen, imaginären und komplexen Zahlen sowie die allgemeinen Zahlen, d.h. einzelne Alphazeichen verschiede­ner Alphabete, die im jeweils betrachteten Zusammenhang für bestimmte Arten numeri­scher Zahlen stehen und für bestimmte Zahlenbereiche definiert sind;

- abstrakt-mathematische Symbole, die mit numerischen oder allgemeinen ganzen Zahlen indiziert sein können und in allgemeiner Form Konstante, Variable oder Mengen darstel­len.

Zu den abstrakt-mathematischen Formen gehören neben den Zahlen und den abstrakt-mathematischen Symbolen

- abstrakt-mathematische Terme (Ausdrücke), die durch Verknüpfung von abstrakt-mathe­matischen Symbolen und Zahlen miteinander und untereinander entstehen,

- abstrakt-mathematische Formeln,

- abstrakt-mathematische Gleichheits- und Ungleichheitsbeziehungen,

- Gesamtheiten abstrakt-mathematischer Formeln oder Beziehungen.

Letztere bilden den Kern von abstrakt-mathematischen Problemstellungen.

Abstrakt-mathematische Formen sind prinzipiell nichtdimensioniert.[23] Ihnen fehlen solche Maßangaben, wie z.B. m als Symbol für Meter, l für Liter, km/h oder die Bezeichnung Stück. Sie entstanden allmählich im Verlaufe der historischen Entwicklung. Rechenopera­tionen wurden zunächst in Verbindung mit einem Maß durchgeführt, z.B. 2 Rinder + 4 Rin­der = 6 Rinder, bevor vom spezifischen Inhalt abstrahiert wurde und 4 + 2 = 6 übrigblieb, später allgemeine Zahlen im Sinne a + b = c eingeführt wurden oder gar erste Formeln entstanden, wie etwa jene für den Kreisumfang. Die Entwicklung des Rechnens und später der Wissenschaft Mathematik war stets gekennzeichnet durch die Einführung neuer ma­thematischer Symbole und Operationszeichen, wie dem Summen- und Produktzeichen, sowie von abstrakt-mathematischen Begriffen, wie dem Mengenbegriff. Über das Angebot an abstrakt-mathematischen Formen, mathematischen Operationszeichen und abstrakt-mathematsichen Begriffen ermöglicht die Mathematik, auch inhaltlich-mathematische Aus­sagen komprimierter und klarer auszudrücken. So kann der Umfang U eines Quadrats der Seitenlänge von einem Meter in der Form

                                               U = m + m + m + m = 4*m = 4m

oder den Rauminhalt R eines Würfels mit gleicher Seitenlänge von einem Meter über

                                               R = m * m * m = m3

ausgedrückt werden.

Inhaltlich-mathematische Formen können also, wie der Faktor 4 und der Exponent 3 zei­gen, abstrakt-mathematische Formen in sich einschließen, bringen aber insgesamt inhaltli­che Aussagen. Die in den inhaltlich-mathematischen Formen enthaltenen abstrakt-mathe­matischen Formen verkürzen lediglich die Darstellung des Inhalts.

Das Bemerkenswerte an der "Mischung" von inhaltlich-mathematischen und abstrakt-ma­thematischen Formen ist jedoch, daß beide Formenarten innerhalb eines Ausdrucks nicht gleichberechtigt nebeneinander stehen können. Beispielsweise ist es nicht akzeptabel, zu 4 Metern die Zahl 3 zu addieren oder zu 4 Metern 3 Liter. Möglich hingegen 4m + 3m oder - verallgemeinert - eine Verknüpfung von Zahlen und mathematischen Symbolen, die in Verbindung mit der Bemaßung inhaltlich gerechtfertigt ist. Es handelt sich also um keine echte Vermischung von abstrakt-mathematischen und inhaltlich-mathematischen Formen, sondern lediglich um das weiter verkürzte Darstellen des Inhalts. Diese verkürzte Aus­drucksweise wird bewirkt

- durch mathematische Operationszeichen,

- durch numerische oder allgemeine Zahlen sowie durch Terme, die als Faktoren, Exponen­ten, Radikanden usw. auftreten sowie

- durch ganzzahlige Indizes, Indizes von Indizes und Mengen ganzzahliger Indizes.

 

Bei ausführlicher formalisierter voller numerischer Darstellung können derartige "gemischte" Formen stets ausschließlich über inhaltlich-mathematische Symbole unter Verwendung von mathematischen Operationszeichen und von numerischen Zahlen dargestellt werden. Wäre dies nicht möglich, hätte die betreffende numerische inhaltlich-mathematische Form keine inhaltlich sinnvolle Aussage. Für die Prüfung, ob eine "gemischte" mathematische Form insgesamt eine sinnvolle inhaltliche Aussage ergibt, kann also nicht entscheidend sein, wie kompliziert die abstrakt-mathematischen Anteile sind, sondern in welcher Weise sie mit den inhaltlich-mathematischen Symbolen verknüpft oder an sie gebunden sind.

 

Aus dem Dargelegten folgt, daß sich hinter den abstrakt-mathematischen Formen innerhalb inhaltlich-mathematischer Formen unmittelbar Inhalt verbirgt. Dieser Inhalt ist Bestandteil des inhaltlichen Zusammenhangs und unmittelbar an ihn gebunden. Er ist jedoch formaler Natur und jener Ausschnitt aus der Realität, für den sich die Mathematik speziell interes­siert. Er kann z.B. quadratisch sein wie in m2 oder kubisch wie in m3, linear wie in 3m + 4 m = 7m usw.

 

Das Primat des Inhalts innerhalb inhaltlich-mathematischer Formen spricht dafür, nicht von einer "Mischung" der abstrakt-mathematischen und der inhaltlich-mathematischen Formen zu sprechen, sondern von formalen inhaltlichen Anteilen innerhalb inhaltlich-mathemati­scher Formen. Diese Unterscheidung erwies sich als bedeutsam, um streng zwischen ab­strakt-mathematischen und inhaltlich-mathematischen Formen unterscheiden zu können.

3.3. Formale inhaltliche Anteile innerhalb inhaltlich-mathematischer Formen

Jede inhaltlich-mathematische Form, bereits auch jedes inhaltlich-mathematische Symbol, schließt neben anderen auch solche Seiten in sich ein, die für die Art der Lösung inhaltlich-mathematischer Problemstellungen mit Hilfe der Methoden der Mathematik bestimmend sind. Es handelt sich um jene inhaltlichen Seiten, die formalen Charakter besitzen. Die Ge­samtheit inhaltlicher Seiten formalen Charakters, über die eine inhaltlich-mathematische Form verfügt, wird nachfolgend als formaler inhaltlicher Anteil innerhalb einer inhaltlich-ma­thematischen Form bezeichnet.

Zu den formalen inhaltlichen Seiten von inhaltlich-mathematischen Formen gehören

- die Art der inhaltlich-mathematischen Symbole, ob und welche von ihnen Variablen-, Konstanten- oder Mengensymbole sind,

- die Art numerischer Werte, die die Variablen annehmen (ob ganzzahlige, reelle, imaginäre Werte usw.)

- die Verknüpfung der Variablen untereinander (ob additiv, multiplikativ, exponentiell usw.) und

- die Arten auftretender mathematischer Beziehungen (ob es sich um Gleichungen, Unglei­chungen oder um funktionelle Beziehungen handelt).

Bei numerischen mathematischen Modellen gehören auch die Anzahl der Variablen und Beziehungen zum formalen inhaltlichen Anteil, ebenso der formale Charakter der Koeffizien­tenmatrix innerhalb eines Systems mathematischer Beziehungen.

Der formale inhaltliche Anteil einer inhaltlich-mathematischen Form braucht oft nicht in sei­ner ganzen Vielfalt erkannt werden. Je nach Verfügbarkeit allgemeiner oder spezifischer mathematischer Methoden kann es zweckmäßig sein, die eine oder andere formale Seite einer inhaltlich-mathematischen Form zu berücksichtigen oder nicht.

Der formale Inhalt wird von einem spezialisierten Mathematiker, der über die Kenntnis ent­sprechender mathematischer Problemtypen verfügt, im allgemeinen schnell erkannt, auch wenn dieser Inhalt nicht ohne weiteres sichtbar ist und unter einer Vielzahl nichtformaler in­haltlicher Seiten fast untergeht. Problematisch wird die Lösung eines inhaltlich-mathemati­schen Problems jedoch dann, wenn das in ihm enthaltene mathematische Modell einen solchen formalen inhaltlichen Anteil besitzt, daß die Mathematik über keine adäquate Lö­sungsmethode verfügt. In diesem Falle kann die Schaffung einer neuen mathematischen Methode oder gar eines neuen mathematischen Teilgebietes erforderlich werden, auch um die Existenz von Lösungen für den neuen Problemtyp erst einmal nachzuweisen.

Für die Anwendung der Methoden der Mathematik zur Lösung inhaltlich-mathematischer Problemstellungen ist Voraussetzung, daß sich der formale inhaltliche Anteil, der sich in der inhaltlich-mathematischen Form befindet, gesondert darstellen läßt, obwohl sich innerhalb einer jeden inhaltlich-mathematischen Form formaler und nichtformaler inhaltlicher Anteil stets gemeinsam in Einheit befinden.

3.4. Der Übergang von inhaltlich-mathematischen zu abstrakt-mathematischen For-

       men

Beim Übergang von einer bestimmten (allgemeinen) inhaltlich-mathematischen Form, die in diesem Abschnitt kurz Quellform genannt werden soll, zu einer anderen mathematischen Form, die nur deren formalen inhaltlichen Anteil in sich aufnimmt und nachfolgend als Ziel­form bezeichnet wird, kann man häufig von der Kenntnis der Zielform ausgehen. Handelt es sich bei der Quellform um ein mathematisches Modell, so findet sich die Zielform in den meisten Fällen als Kern eines bereits bekannten lösbaren mathematischen Problems, z.B. als die Gesamtheit der mathematischen Beziehungen des bekannten linearen Optimie­rungsproblems. Es könnte aber auch sein, daß die gesuchte Form, die im Ergebnis des Übergangs entsteht, erst aus der inhaltlich-mathematischen Form "herausgelöst" werden muß.

Das Bemerkenswerte an einer solchen auf formale Aspekte ausgerichteten Zielform ist, daß sie im allgemeinen mehr formale inhaltliche Anteile in sich aufzunehmen vermag als jenen Anteil, über den die Quellform selbst verfügt. Es darf sogar angenommen werden, daß die Anzahl unterschiedlicher inhaltlich-mathematischer Formen, deren formale inhaltliche An­teile in eine einzige neue mathematische Form münden, im allgemeinen unbeschränkt ist. Im folgenden werden auch bisher gänzlich unbekannte qualitativ neue mathematische Formen, die lediglich formale Seiten in sich einschließen, den bereits erwähnten abstrakt-mathematischen Formen zugeordnet. Sie können offensichtlich den eigenständigen Ge­genstandsbereich der Mathematik vergrößern.

Der Übergang von einer inhaltlich-mathematischen zu einer abstrakt-mathematischen Form vollzieht sich scheinbar in einem Schritt, der im wesentlichen in der Umbenennung der in der Quellform enthaltenen Symbole besteht. Dieser Schritt kann mathematische Umfor­mungen einschließen, auch die Zusammenfassung mehrerer Symbole bzw. von Symbolen, die mit numerischen Größen gekoppelt sind, zu neuen Symbolen, z.B. dann, wenn inner­halb einer mathematischen Beziehung mehrere inhaltlich-mathematische Symbole, die Konstante bezeichnen, gemeinsam als Koeffizienten einer Variablen auftreten.

Am Beispiel des OMBESA veranschaulicht, besteht die Umbenennung darin, daß die mehrfach indizierten Variablen bzw. Konstanten inhaltlicher Bedeutung (vgl. S. 17) in die nichtdimensionierten Variablen bzw. Konstanten der Form xj, aij, bi und cj übergehen. Die Indizes dieser Symbole haben nur noch formalen Charakter. So verweist i auf die laufende Nummer der Bedingung, j auf die laufende Nummer der Variablen, und sowohl innerhalb der Bewertungsfunktion ("Zielfunktion"), in der die Produkte in der Form cjxj auftreten, als auch innerhalb der Bedingungen, in denen die Produkte die Form aijxj annehmen und die Absolutglieder bi auftreten. Damit wird dem Eingeweihten deutlich, daß das über das ma­thematische Modell OMBESA erfaßte Optimierungsproblem großer Komplexität und inhalt­licher Vielfalt im mathematischen Sinne als (umfangreiches) lineares Optimierungspro­blem[24] aufgefaßt werden kann, dessen allgemeine Lösbarkeit bereits Ende der vierziger Jahre von G. B. Dantzig[25] nachgewiesen wurde. Mit der von Dantzig entwickelten Simplex­methode ist es damit prinzipiell möglich, auch jedes numerische (logisch widerspruchsfreie) Problem, das ausgehend von OMBESA aufgestellt wurde, zu lösen, und zwar unabhängig von der Datenstruktur.

Der allgemeine Charakter der Simplexmethode besteht u.a. darin, daß die Anzahl der Va­riablen und Bedingungen im Optimierungsmodell beliebig sein kann und daß in allen Be­dingungen und in der Bewertungsfunktion alle Variablen auftreten dürfen, d.h. alle Koeffizi­enten cj und aij dürfen verschieden von Null sein. Bei der Anwendung des OMBESA traf dies aber nur für mehrere Zehntausend von mehr als zwei Millionen der möglichen Koeffizi­enten zu!

Der Fakt, daß innerhalb allgemeiner und numerischer mathematischer Modelle "Lücken" in dem Sinne vorhanden sind, daß nicht jede Variable des Modells in jeder mathematischen Beziehung vorkommt, hat grundsätzliche Bedeutung. Eine genauere Analyse des Umwand­lungsprozesses inhaltlich-mathematischer in abstrakt-mathematische Formen zeigt nämlich, daß sich dieser in zwei Schritten vollzieht, wobei nur im ersten der beiden Schritte eine Umbenennung von Symbolen vorgenommen wird.

Gehen wir - ohne Einschränkung der Allgemeinheit der Aussage - bei der weiteren Analyse zur Veranschaulichung von linearen Progammierungsproblemen als Zielform aus. Wenn dann die Voraussetzungen für die Umbenennung gegeben sind, d.h., wenn die Quellform im inhaltlichen Sinne ein abgeschlossenes Optimierungsmodell darstellt und für sie die An­zahl der mathematischen Beziehungen und Variablen ausgehend vom Definitionsbereich der Indizes und deren zulässigen Kombinationsmöglichkeiten numerisch festliegen, wird jeder unterschiedlichen Variablen der Quellform genau eine der fortlaufend numerierten Va­riablen so zugeordnet, daß auch im neu entstehenden Modell über alle mathematischen Beziehungen gleiche Variable gleich bezeichnet werden. Die Konstantensymbole des Aus­gangsmodells werden hingegen so umbenannt, daß sich aus deren Indizierung die Num­mer der mathematischen Beziehung, in der es auftritt, und die Nummer der Variablen, de­ren Koeffizient es darstellt, ablesen läßt. Entsprechend diesem Vorgehen sowie bei Be­rücksichtigung weiterer Details, die für die fortlaufenden Betrachtungen nichts wesentlich Neues bringen, entsteht aus dem Ausgangsmodell eine mathematische Zwischenform, die für die folgende Beweisführung wesentlich ist, auch wenn sie praktisch keine Bedeutung besitzt. Sie soll im folgenden formales mathematisches Modell, kurz formales Modell, ge­nannt werden.

Das formale (mathematische) Modell bewahrt - bis auf mögliche Umformungen und Zu­sammenfassungen - noch die Struktur des Ausgangsmodells. Das formale Modell entsteht aus dem Ausgangsmodell durch Abstraktion von dessen nichtformalem und damit von dessen spezifischem Inhalt, ohne daß dieser, da eine Zuordnung zwischen den Variablen beider Modelle besteht, bei den folgenden Schritten verlorengeht. Anders gesagt: Es wird von jener mathematischen Form abstrahiert, die nichtformalen Inhalt ausdrückt. Als beson­dere Form des Abstrahierens wird deshalb die beschriebene Umwandlung nachfolgend als inhaltliche Despezifizierung bezeichnet.

Infolge ihrer speziellen formalen Struktur, insbesondere wegen der unterschiedlichen An­zahl an Variablen innerhalb der einzelnen mathematischen Beziehungen, sind formale Mo­delle nicht geeignet, Ausgangspunkte für die Schaffung mathematischer Lösungsmetho­den sein. Deshalb wird im zweiten Schritt des Übergangs zur (allgemeinen) abstrakt-ma­thematischen Form das formale Modell gezielt geordnet, ergänzt und verallgemeinert. Das geschieht im betrachteten Modell durch das Einführen von Koeffizienten aij und den Abso­lutgliedern bi in den Bedingungen sowie von Koeffizienten cj in der Bewertungsfunktion für jene Positionen im formalen Modell, wo bisher nichts steht. Auf diese Weise wird erreicht, daß in jeder mathematischen Beziehung jede Variable des formalen Modells auftritt, und zwar jeweils geordnet nach der aufsteigenden Nummer der Variablen. Gleichzeitig werden alle mathematischen Beziehungen vereinheitlicht, z.B. mögliche Ungleichungen über das Einführen sogenannter Schlupfvariablen in Gleichungen überführt.

Die dargelegte Ergänzung und Vereinheitlichung bedeutet eine Konkretisierung des forma­len Modells, ein verallgemeinertes Herausstellung des formalen inhaltlichen Anteils des Ausgangsmodells, und zwar in einer solchen Konsequenz, daß die Struktur des Aus­gangsmodells in seiner allgemeinen Form dem äußeren Anschein nach verlorengeht. Den­noch wird das Ausgangsmodell im numerischen Sinne nicht verfälscht, denn bei nachfol­genden Rechnungen nehmen z.B. die neu eingeführten Koeffizienten natürlich jeweils den Wert Null an. Der dargelegte zweite Schritt beim Übergang zu einer abstrakt-mathemati­schen Form, der in der Konkretisierung des formalen Modells besteht, soll künftig formale Konkretisierung genannt werden.

Die nach der formalen Konkretisierung entstandene allgemeine mathematische Form be­steht in der Tat nur aus abstrakt-mathematischen Symbolen und aus mathematischen Ope­rationszeichen. Der ursprüngliche Inhalt der mathematischen Symbole interessiert für die anzuwendende mathematische Lösungsmethode nur noch bezüglich des formalen Anteils. Analoges gilt für entsprechende numerisch mathematische Formen, in denen die numeri­schen Werte als nichtdimensionierte Zahlen auftreten. Die Bezeichnung abstrakt-mathe­matische Form ist für solche mathematische Formen also voll gerechtfertigt. Derartige ma­thematische Formen hören auf, Modell zu sein. Sie könnten ja auch aus einer Vielzahl in­haltlich-matematischer Formen, die Gegenstand verschiedener Wissenschaften sein dür­fen, gewonnen werden, wenn der formale inhaltliche Anteil der Ausgangsmodelle gleichge­artet ist.

Der Übergang von einer inhaltlich-mathematischen zu einer abstrakt-mathematischen Form kann damit als Einheit von inhaltlicher Despezifizierung und formaler Konkretisierung ver­standen werden. Ausgehend von einer gegebenen inhaltlich-mathematischen Form ab­strahiert die Mathematik von deren spezifischem nichtformalem Inhalt und konkretisiert den formalen inhaltlichen Anteil zu einer abstrakt-mathematischen Form. Inhaltlich-mathemati­sche Formen, insbesondere auch mathematische Modelle in ganzheitlichem Zusammen­hang, gehören zum Gegenstand jener Wissenschaften, deren Inhalt sie beschreiben; ab­strakt-mathematische Formen, vor allem auch Gesamtheiten abstrakt-mathematischer Be­ziehungen (Kerne) gehören zu Gegenstand der Mathematik. Zwischen einem mathemati­schen Modell und dem zugehörigen Kern der abstrakt-mathematischen Problemstellung gibt es außer dem formalen mathematischen Modell, das aus praktischen Gründen nicht interessiert, keine Zwischenformen, die als Gegenstand irgendwelcher anderer wissenschaftli­cher Disziplinen betrachtet werden können. Das mathematische Modell ist im inhaltlichen Sinne, der zugehörige Kern der abstrakt-mathematischen Problemstellung im formalen Sinne reicher.[26]

3.5. Beispiel für den Übergang von einer inhaltlich-mathematischen zur abstrakt-

       mathematischen Form

Das nachfolgend sehr weit vereinfachte konstruierte Beispiel soll den Übergang von einer inhaltlich-mathematischen zur abstrakt-mathematischen Form verdeutlichen helfen:

An drei Baustandorten Os (s = 1, 2, 3) bestehe in zwei Zeitabschnitten zt (t = 1, 2) die Mög­lichkeit, zwei Bauvarianten Bv (v = 1, 2) zu realisieren. Die Mittel mt (t = 1, 2), die für das Bauen je Zeitabschnitt maximal zur Verfügung stehen, seien bekannt, ebenso die zeitab­schnitts-, standort- und variablenabhängigen Kosten  zur Realisierung der Bauvarian­ten. Es sollen folgende Bedingungen gestellt sein:

(1) Im ersten Zeitabschnitt soll nur das Bauen am 1. und 3. Standort möglich sein.

(2) Im zweiten Zeitabschnitt darf nur am 2. und 3. Standort gebaut werden.

(3) Am 1. Standort könnte eine der beiden Bauvarianten realisiert werden, muß aber nicht.

(4) Am 2. Standort muß eine der beiden Varianten gebaut werden.

     Am 3. Standort kommt - wenn überhaupt - nur der Bau der ersten Bauvariante in Frage.

Die letztgenannte Forderung kann im mathematischen Modell mit unter den Bedingungen (1) und (2) ausgedrückt werden.

Der jährliche Gewinn G aus der Realisierung der Bauvarianten gsv sei von der Bauvarinate und vom Standort abhängig.

Das Optimierungsproblem bestehe darin, die Bauvarianten nach Standorten und Zeitab­schnitten der Realisierung auszuwählen, so daß der jährliche Gewinn G nach ihrer Fertig­stellung maximal ist.

Das Optimierungsmodell kann nach der Einführung von 0-1-Variablen Ysv formuliert  wer­den. Die Ysv nehmen nur die Werte 0 oder 1 an, je nachdem ob die Variante Bv für den Standort Os ausgewählt wird oder nicht. Wenn das Optimierungsmodell so aufgeschrieben wird, daß gleiche Variable untereinander stehen, ergibt sich folgende inhaltlich-mathemati­sche Form:


 

Wenn die fünf verschiedenen Variablen ysv in xj umbenannt und fortlaufend numeriert werden ( j = 1, 2, ... , 5), wobei i die Nummer der Zeile und j die der Spalte (der Variablen) angibt, wenn außerdem die Koeffizienten gsv in cj umbenannt werden, ergibt sich das formale Modell wie folgt:

Das formale Modell verfügt - bis auf die Umbenennung - über die gleiche inhaltliche Struk­tur wie die inhaltlich-mathematische Form.

Durch die Einführung von Schlupfvariablen werden die ersten drei Ungleichungen in Glei­chungen verwandelt und zwar durch das Hinzufügen der Variablen x6 in der ersten, von x7 in der zweiten und von x8 in der dritten Ungleichung. Die Variablen x6 und x7 können nicht als 0-1-Variable definiert werden. Damit entsteht eine Zwischenform, die ausschließlich aus Gleichungen be­steht. Sie wird zum besseren Verständnis für Nichtmathematiker nachfolgend mit aufgeführt:


 

Füllen wir nunmehr alle Lücken in den Bedingungen und in der Bewertungsfunktion aus, indem wir zusätzliche aij und cj einführen, die natürlich im numerischen abstrakt-mathemati­schen Problem alle den Wert 0 erhalten, und führen wir auch für die Schlupfvariablen Koef­fizienten aji ein, dann füllen sich die Zeilen der Bedingungen und die Bewertungsfunktion. Es entsteht die folgende (verkürzt aufgeschriebene) abstrakt-mathematische Form.

Diese Form ist der Kern eines gemischten 0-1-Problems der linearen Programmierung, das dann Ausgangspunkt für die Schaffung einer allgemeinen mathematischen Lösungsme­thode sein könnte, wenn die Anzahl der Variablen beliebig wäre, aber mindestens eine 0-1-Variable auftritt.


 

3.6. Zur Lösung inhaltlich-mathematischer und abstrakt-mathematischer Probleme

Ein mathematisches Modell, das die mögliche Entwicklung und Nutzung eines Systems erfaßt, setzt gleichzeitig auch die Bedingungen für die mögliche Auswahl von Entwicklungs- und Nutzungsvarianten. Die Forderung nach Suche und Auswahl von Entwicklungs- und Nutzungsvarianten im Rahmen der durch das Modell fixierten Zielstellungen und Bedin­gungen ist Inhalt des zu formulierenden und zu lösenden mathematischen Problems. Wenn die Methode zur Lösung des inhaltlich-mathematischen Problems vom mathemati­schen Modell direkt ausgeht, muß von einer inhaltlich-mathematischen Methode gespro­chen werden, die nicht zum Gegenstand der Mathematik gehört. Inhaltlich-mathematische Methoden, z.B. heuristische Methoden, müssen dann angewandt werden, wenn die Ma­thematik keine oder keine rationellen abstrakt-mathematischen Methoden zur Lösung des inhaltlich-mathematischen Problems zur Verfügung stellen kann.

Weitaus häufiger ist jedoch der Fall, daß sich die mathematische Modellierung als zu schwierig erweist, um solch ein mathematisches Modell zu erstellen, von dem aus zu einer abstrakt-mathematischen Form übergegangen werden kann. Um unter diesen Bedingun­gen dennoch zu "Lösungen" zu gelangen, werden im allgemeinen Simulationsverfahren geschaffen, für die typisch ist, daß zwischen mathematischer Modellierung einerseits und methodisch-algorithmischer Lösung andererseits nicht mehr klar abgegrenzt werden kann. Dies trifft z.B. auf viele Verfahren der Netzplantechnik zu.

Für die Lösung inhaltlich-mathematischer Probleme, insbesondere auch die Lösung von Optimierungsproblemen, mit Hilfe von abstrakt-mathematischen Methoden gibt es vor allem ökonomische Grunde:

a) Inhaltlich-mathematische Methoden sind sehr kurzlebig. Bedingt durch den fortschreiten­den Erkenntnisprozeß ergeben sich fortwährend Veränderungen am mathematischen Modell, die auch eine Überarbeitung der inhaltlich-mathematischen Methode erzwingen. Abstrakt-mathematische Methoden bleiben bei Änderungen des mathematischen Modells an­wendbar, sofern der mathematische Problemtyp, der vom formalen inhaltlichen Anteil des Modells entscheidend beeinflußt wird, erhalten bleibt. Abstrakt-mathematische Lösungs­methoden können deshalb bereits vorliegen, noch bevor eine Problemstellung in mathe­matischer Form beschrieben ist.

b) Die Orientierung auf die Anwendung inhaltlich-mathematischer Methoden bedeutet, daß für jedes neue Problem allgemeiner inhaltlich-mathematischer Form auch eine neue all­gemeine Lösungsmethode geschaffen werden muß, daß insbesondere jede Wissenschaft eigene mathematische Methoden erarbeiten müßte. Eine abstrakt-mathematische Metho­de kann hingegen von vielen Wissenschaften genutzt werden, sofern die inhaltlich-ma­thematischen Probleme dieser Wissenschaften gleichartige formale Strukturen besitzen.

c) Abstrakt-mathematische Methoden gehen von einfacheren Strukturen aus. Das begün­stigt die Erarbeitung exakter Lösungsmethoden und den Nachweis, ob eine gefundene Lösung im Sinne des mathematischen Modells zulässig und optimal ist. Die Realisierung optimaler Lösungen ermöglicht, in der Realität höheren Nutzeffekt zu erzielen. Für die mit Hilfe von Simulationsverfahren ermittelten "Lösungen" ist die Realisierbarkeit von vornher­ein unsicher, da unbekannt sein kann, ob wesentliche reale Bedingungen überhaupt er­kannt oder gegebenenfalls verletzt wurden.

Durch die eindeutige Zuordnung der abstrakt-mathematischen zu den inhaltlich-mathema­tischen Variablen im Prozeß der Umbenennung ist mit der Lösung des abstrakt-mathema­tischen Problems zugleich auch die Lösung des inhaltlich-mathematischen Problems ge­geben, aus dessen mathematischem Modell der Kern des abstrakt-mathematischen Pro­blems abgeleitet wurde.

3.7. Zur notwendigen Abgrenzung der Mathematik nach außen

Die Abgrenzung der Mathematik von den sie nutzenden wissenschaftlichen Disziplinen er­weist sich als möglich und ökonomisch zweckmäßig. Sie wird im Verlaufe der historischen Entwicklung um so notwendiger je mehr die Gefahr wächst, daß in mathematischer Form erfaßter Inhalt, der an bestimmte gesellschaftliche Zusammenhänge gebunden ist, unkriti­sch übernommen und falsch interpretiert wird.

Zugleich darf nicht übersehen werden, daß auch die Mathematik von Begriffen befreit und Denkweisen abgeschirmt werden muß, die über ihren Gegenstand hinausgehen. Das be­trifft z.B. solche inhaltlich orientierten Begriffe, wie mathematisches Modell, Optimierung, Optimum, optimal usw., die zwar ohne die Mathematik nicht denkbar sind, nach Auffassung des Verfassers aber objektiv nicht zu ihr gehören. Die Anwendung des Begriffes "mathematisches Modell" hat auch im innermathematischen Sinne keine Berechtigung, z.B. wenn ein ideelles Gebilde, etwa eine abstrakt-geometrische Form, in der Sprache der Analysis dargestellt werden soll. Die Mathematik geht nämlich prinzipiell den umgekehrten Weg. Um sehr weit verallgemeinerte geometrisch nicht vorstellbare mathematische For­men, z.B. n-dimensionale mathematische Beziehungen, geometrisch zu veranschaulichen, wird mit dreidimensionalen Gebilden gearbeitet. Das heißt, die abstrakt-mathematischen Formen sind im allgemeinen weitaus komplizierter als das Vorstellbare und real Existieren­de! Mathematische Modellierung beinhaltet aber gerade das Abbilden der objektiv existie­renden Realität einschließlich ihrer möglichen Veränderungen!

Die Folgerung, aus der möglichen und notwendigen Abgrenzung zwischen inhaltlich-ma­thematischen und abstrakt-mathematischen Formen abzuleiten, daß solche Begriffe, wie Optimierung, Optimum, optimal usw., streng genommen keine mathematischen Begriffe sind, mag besonders überraschend sein. Die Verwunderung wird jedoch relativiert, wenn man bedenkt, daß diese Begriffe erst mit der Herausbildung der Operationsforschung in­nerhalb der Mathematik gebräuchlich wurden.[27] Vordem waren bei den Mathematikern ausschließlich die Begriffe Extremierung, Extremum, extremal, Maximum, Minimum usw. verbreitet, ohne daß eine Wertung vorgenommen wurde, ob das Maximum oder das Mini­mum die beste, die optimale Lösung sei. In der Tat haben ja numerische Extremierungs­probleme im allgemeinen zumindest zwei extremale Lösungen, die für die Mathematik, d.h. im formalen Sinne, als völlig gleichberechtigt angesehen werden, aber nur eine von ihnen kann im inhaltlichen Sinne als optimale Lösung akzeptiert werden. So wäre es unsinnig, je­ne Lösung eines Transportproblems, für die im Rahmen der gegebenen Bedingungen die höchsten Kosten anfallen, als optimale Lösung zu bezeichnen. Sie wird weder berechnet, noch in die theoretischen Betrachtungen einbezogen. Sollte z.B. künftig nicht besser von li­nearen Extremierungsproblemen statt von linearen Optimierungs- oder Programmierungs­problemen gesprochen werden?

Als Fazit bleibt - unabhängig davon, ob die vorgeschlagene klare Abgrenzung zwischen der Mathematik und den sie nutzenden Disziplinen real erreicht werden kann -, daß die objek­tive (insbesondere auch ökonomische) Berechtigung der Mathematik aus der Möglichkeit erwächst, inhaltlich sehr unterschiedliche inhaltlich-mathematische Problemstellungen bei gleichartigem Anteil an formalem Inhalt des mathematischen Modells mit denselben ab­strakt-mathematischen Methoden bearbeiten zu können.


 

3.8. Der formale inhaltliche Anteil innerhalb einer Problemsituation - ein Aspekt ihrer

       Erforschung

Wenn zwei mathematische Modelle, die verschiedene Problemsituationen beschreiben, über einen gleichartigen formalen inhaltlichen Anteil verfügen, muß dies nicht bedeuten, daß sich die objektiv vorhandenen formalen inhaltlichen Anteile beider Problemsituationen nicht wesentlich unterscheiden.

Genauso, wie die äußere und innere Abgrenzung einer Problemsituation sowie das Erken­nen ihrer inneren Struktur Forschungsgegenstand sein muß, trifft dies im Prozeß der ma­thematischen Modellierung auf das Erkennen des formalen inhaltlichen Anteils zu. Wenn bisher bestimmte Problemsituationen über lineare Beziehungen und determiniert beschrie­ben wurden, so könnte es sein, daß es sich als notwendig und richtig erweist, diskrete und stochastische Variable zu verwenden. Mehr noch - die Berücksichtigung der Einheit von Li­nearität und Nichtlinearität, von Kontinuität und Diskontinuität, von Determiniertheit und Stochastik könnte sich als notwendig herausstellen, auch wenn dies zunächst zu unüber­windlichen Hindernissen in der Lösung der inhaltlich-mathematischen Probleme führen könnte.[28]

Genauso, wie nicht erwartet werden kann, die Realität in ihrer hierarchischen Ordnung, Komplexität, Kompliziertheit und Differenziertheit voll zu erkennen und verbal zu beschrei­ben, darf dies unter Nutzung der Mathematik angenommen werden! Aber die Nutzung der Mathematik wird beitragen, dem Erkennen der objektiven Realität schneller näher zu kom­men und das Beschreiben adäquater vorzunehmen als über jede andere Vorgehensweise!


 

4. Ausblick

Im vorliegenden Beitrag konnte nur eine grundsätzliche Beweisführung zur notwendigen Negation wissenschaftlicher Disziplinen zwischen der Mathematik und den sie nutzenden Einzelwissenschaften versucht werden. Gegen die vom Autor vertretene Auffassung ist Wi­derspruch zu erwarten. Das ist normal - sind doch hunderte Bücher und tausende Artikel im Sinne von Operations Research und anderer Zwischendisziplinen geschrieben worden. Eine Absicht des Autors war es, Zweifler zum Nachdenken und zum Überdenken alter Po­sitionen anzuregen, auch zur Frage, warum die Anwendung mathematischer Methoden in den ökonomischen Bereichen nach dem Hoch in den sechziger Jahren weltweit nicht den erwarteten Erfolg gebracht hat, warum von einem Scheitern, zumindest von unzureichen­den Erfolgen von Operations Research gesprochen werden müßte. War die Vorgehenswei­se doch übereilt und unzureichend wissenschaftlich fundiert?

Die Problematik der Nutzung der Mathematik in der Ökonomie ist heute kein aktuelles Thema. Aber wird und darf es so bleiben? Sprechen die nicht erfüllten Erwartungen von Operations Research gegen die Anwendung der Mathematik in bestimmten Bereichen oder nur die Art und Weise, wie sie bisher erfolgte? Gibt es einen möglichen Neubeginn? Der Autor hält ihn für notwendig. Er setzt jedoch einen qualitativen Wandel in der Herange­hensweise voraus, erfordert, sich kritisch mit der bisherigen Entwicklung auseinanderzuset­zen und bedarf wesentlich verbesserter und vertiefter wissenschaftlicher Grundlagen. Ins­besondere sind folgende Schwerpunkte zu bearbeiten:

a) Es sollte eine kritische Analyse des historischen Enstehens von wissenschaftlichen Dis­ziplinen vorgenommen werden,  die aus der Anwendung der Mathematik in den Einzelwis­senschaften entstanden. Für die zwischen der Mathematik und der Ökonomie vermitteln­den Disziplinen könnte die Analyse mit der "politischen Arithmetik"[29] beginnen und der "mathematischen Operationsforschung"[30] enden. Sie müßte die Wirtschaftsmathema­tik[31], die Ökonometrie, Operations Research (Unternehmensforschung[32], Planungsfor­schung, Issledowanije Operazi[33]), die Betriebsökonometrie[34] und die "mathematische Ökonomie"[35] einschließen. Im naturwissenschaftlichen Bereich sollten z.B. kritisch ana­lysiert werden: die "mathematische Physik", die Biometrie, die "mathematische Biologie" (Biomathematik), die „mathematische Geographie" usw. Die Vielfalt der Begriffe verwirrt. Aber vielleicht kann der Wirrwarr - wie der Gordische Knoten - dann gelöst werden, wenn die Nutzung der Mathematik für alle Einzelwissenschaften als integraler Bestandteil ihrer Höherentwicklung akzeptiert wird.

b) Es sollte allgemein Klarheit erzielt werden, worin das Verhältnis zwischen Mathematik und den sie nutzenden Einzelwissenschaften grundsätzlich besteht und was die Nutzung der Mathematik im Detail für diese Wissenschaften vermag oder auch nicht vermag.

Vollzieht sich wirklich eine "Mathematisierung der Wissenschaften", von der so häufig in der Literatur gesprochen wird? Gehen von ihr tatsächlich Gefahren für die Einzelwissen­schaften derart aus, daß die Einzelwissenschaften - wie vermutet werden könnte - allmäh­lich von der Mathematik integriert werden?[36] Muß die „Mathematisierung“ deshalb abge­lehnt werden oder wird der Begriff heute anders verstanden? Zumindest könnte die "Mathematisierung" den Einzelwissenschaftler verunsichern! Vertrauen wir besser Karl Marx! Nach dessen Worten war "eine Wissenschaft erst dann wirklich entwickelt, wenn sie dahin gelangt war, sich der Mathematik bedienen zu können."[37] Der Autor geht von der These aus, daß durch die Nutzung der Mathematik eine Wissenschaft nicht allmählich zur Mathematik, sondern immer mehr sie selbst wird! Warum hat diese Aussage Berechti­gung?

Zum einen erlaubt die mathematische Modellierung nicht nur - wie man häufig unterstellt -, quantitative Zusammenhänge darzustellen; in der Einheit von verbalen und formalisierten Aussagen vermögen die mathematischen Modelle qualitativ-quantitative und dialektische Zusammenhänge zu erfassen: Wechselwirkungen, Qualitätssprünge, Negationen. Es ist sogar zu erwarten, daß in naher Zukunft in der Einheit von Generellem und Spezifischem mögliche Entwicklungszusammenhänge so weit formalisiert beschrieben werden können, daß sie sich vom einzelnen Menschen nicht mehr überschauen lassen. Und bestimmte derartige Optimierungsmodelle ließen sich heute schon rechentechnisch bearbeiten![38]

Zum zweiten darf die Nutzung der Mathematik nicht auf die Anwendung mathematischer Methoden beschränkt werden. Die Nutzung der mathematischen Sprachen zur formalisier­ten Beschreibung und erzwingt durch die erforderliche präzise Definition der inhaltlich-mathematischen Symbole, durch die notwendige Quantifizierung, klare Abgrenzung und widerspruchsfreie Darstellung der inhaltlichen Zusammenhänge die Erkenntnisgewinnung. Schließlich ermöglichen mathematische Modelle auch die Durchführung von wissen­schaftlichen Experimenten, einmal bezüglich der dem Modell zugrunde gelegten inhaltli­chen Prämissen, zum anderen zur praktischen Prüfung der Modelle selbst. Das gilt insbe­sondere auch auf ökonomischem Gebiet[39], wo die Ableitung praktikabler mathematischer Modelle und Methoden die mehrfache Anwendung von Experimentalmodellen vorausset­zen müßte. Die Anwendung praktikabler mathematischer Methoden ist folglich nur die Endstufe der Nutzung der Mathematik in einer Wissenschaft.

c) Es ist unbedingt Klarheit in der Definition, Verwendung und Zuordnung der mit der Nut­zung der Mathematik in den Einzelwissenschaften verbundenen Begriffe zu schaffen. Da­bei geht es nicht nur um die Kritik, Bestätigung oder weitere Differenzierung des vom Autor in den Abschnitten 3.1. und 3.2. ausgehend von der Unterscheidung nach inhalt­lich-mathematischen und abstrakt-mathematischen Formen vorgeschlagenen Begriffsap­parates oder um das Ausmerzen von inhaltlich orientierten Begriffen aus der Mathematik, wie es im Abschnitt 3.6. gefordert wurde, sondern auch um prinzipielle Fragen:

- Sollte der Ausdruck "Anwendung der Mathematik in den Wissenschaften", der die Ma­thematik zu etwas Fertigem und zum aktiven Element gegenüber den Einzelwissenschaf­ten macht, nicht besser durch die Formulierung "Nutzung der Mathematik durch die Wis­senschaften" ersetzt werden, in der die einzelnen Wissenschaften das Primat gegenüber der Mathematik erhalten und die Mathematik lediglich (als nicht notwendig kompletter) Anbieter auftritt, was nicht ausschließen darf, dennoch von "Anwendung (bestimmter) mathematischer Methoden" zu sprechen?

- Der sehr fragwürdig gewordene, international leider breit etablierte Terminus "Mathematisierung der Wissenschaften" dürfte, sofern die in der vorliegenden Arbeit er­zielten Erkenntnisse prinzipiell bestätigt werden, keine objektive Berechtigung mehr be­sitzen. Er könnte durch "mathematische Formalisierung in den Wissenschaften" ersetzt werden. Den entscheidenden Hinweis zur Ablösung des Terminus Mathematisierung gab Johannes Rudolph, für den es besser war, "statt von Mathematisierung besser von For­malisierung zu sprechen."[40]

 

- Die verbesserte Definition von grundlegenden mit der Nutzung der Mathematik verbun­denen und das Verdrängen von unberechtigt eingeführten Begriffen muß nach Auffas­sung des Autors weitaus stärker als Gegenstand der Philosophie akzeptiert werden. Als Kategorien der Philosophie müßten z.B. solche Begriffe betrachtet werden, wie Optimali­tät, Optimum, Optimalitätskriterium, mathematische Formalisierung und Modell. Natürlich erfordert ihre Definition vom Philosophen solides mathematisches Wissen und Kenntnis­se der Hintergründe ihrer Entstehung, aber die Klärung der Begriffsinhalte dürfte unab­dingbar sein und wesentlich zur wissenschaftlichen Fundierung der Nutzung der Mathe­matik beitragen. Sie würde es zugleich ermöglichen, nicht akzeptable Begriffe auszumer­zen, wie z.B. "optimales (gesellschaftliches) System", Modellrechnung, "Optimum der Volkswirtschaft", "mathematisch-ökonomisches Modell", Mathematisierung usw., die von einem falschen Verstehen der inhaltlich-mathematischen Zusammenhänge ausgehen und zu Irrwegen in der Nutzung der Mathematik führen können.

d) Im Prozeß der Nutzung der Mathematik in den Einzelwissenschaften hat die mathemati­sche Modellierung die zentrale Bedeutung. Sie ist der wesentliche Arbeitsschritt, um zwi­schen Einzelwissenschaft und Mathematik zu vermitteln. Für den Bereich der Ökonomie äußert sich dazu J. Rudolph wie folgt: "Der ökonomische Inhalt ist das Primäre. Ökono­misch-mathematische Modelle sind als exaktes Abbild des jeweiligen ökonomischen Sachverhalts zu entwickeln. ... Erst dann, wenn man den betreffenden ökonomischen Sachverhalt auf diese Weise erfaßt, abgebildet hat, kann und darf man den nächsten Schritt tun, der darin besteht, ein mathematisches Verfahren zur Lösung ... einzuset­zen."[41],[42] D.h., wenn von Fachvertretern nicht gelernt wird, wie man schrittweise inhaltli­che Aussagen und Zusammenhänge in mathematische Form bringt, wenn davon nicht abgegangen wird, vorgegebene mathematische Formen, wie etwa jene der linearen Opti­mierung (Programmierung), als mathematische Modelle oder gar als Standardmodelle zu deklarieren, kann es keine wesentlichen Fortschritte und erst recht keinen Neuanfang in der Nutzung der Mathematik, beispielsweise in der Ökonomie, geben. Das Umdenken zur Akzeptanz mathematischer Modelle könnte dadurch nachhaltig gefördert werden, wenn es zunächst in der Lehre an den Hochschulen gelingt, die Tätigkeit des mathematischen Modellierens an realitätsnahen Beispielen fachbezogen zu vermitteln. Über diesen Weg sollte zugleich versucht werden, die Wechselwirkung zwischen dem mathematischen Mo­dellieren und dem tieferen Eindringen in die fachliche Problematik zu verdeutlichen, d.h. zu veranschaulichen, daß sich die mathematische Modellierung einerseits als Methode zur Er­kenntnisgewinnung und -darstellung, andererseits zum Erlernen wissenschaftlichen Arbei­tens eignet.[43]

         Das Ablehnen der objektiven Berechtigung von mathematischen Modellen, die zwi­schen der Mathematik und den Einzelwissenschaften stehen, und damit das Negieren der Zwischendisziplinen selbst könnte zur Vermutung Anlaß geben, daß wenig an Arbeitsge­genstand für die bisherigen Vertreter der Zwischendisziplinen bleibt. Das Gegenteil dürfte der Fall sein. Die Kenntnis der mathematischen Problemtypen und die bisherigen Model­lierungserfahrungen könnten genutzt werden, um in verstärktem Maße bisher nicht er­schlossene inhaltliche Zusammenhänge in neuer Qualität aufzubereiten, auch um Erfah­rungen zusammenzutragen, die es erlauben, eine (philosophisch gestützte) Methodologie der Nutzung der Mathematik aufzubauen, die als Kern eine Theorie der mathematischen Modellierung einschließt.[44]

e) Aus dem vorliegenden Beitrag, der sich mit dem Verhältnis der Mathematik zu den Ein­zelwissenschaften befaßte, wurde auch deutlich, daß die Nutzung der Mathematik in Dis­ziplinen außerhalb der Einzelwissenschaften, wie z.B. durch die Informationstheorie, Be­sonderheiten aufweist (vgl. dazu S. 13) Das gilt möglicherweise auch für die Systemtheo­rie, die Kybernetik, die formale Logik und andere Disziplinen. Offensichtlich bedarf es auch besonderer Untersuchungen ihrer Erkenntnisse und Ergebnisse in Verbindung mit der Nutzung der Mathematik zu klären.


 

5. Nachwort

Die Frage nach der objektiven Berechtigung von Disziplinen zwischen der Mathematik und den Einzelwissenschaften ist dem Autor aus der Literatur bisher nicht bekannt. Sie hätte frühestens gestellt werden können, nachdem solche Begriffe, wie "politische Arithmetik" oder "mathematische Physik“ geprägt worden waren; aber gab es ausreichend Gründe, das berechtigte Entstehen solcher Zwischendisziplinen anzuzweifeln? War es nicht ein großes Verdienst jener Wissenschaftler, die erstmalig begannen, die Lücken von den Einzelwis­senschaften zur Mathematik zu schließen? Die Frage mußte jedoch dann gestellt werden, als deutlich wurde, daß der mit der Akzeptanz von Zwischendisziplinen vorgezeichnete Weg der Anwendung mathematischer Methoden nicht zum Erfolg führt und sich aus ihm allmählich Ablehnung der Nutzung der Mathematik auf bestimmten Anwendungsgebieten ergab. Damit drohte Schaden für die Wissenschaftsentwicklung allgemein.

Die entscheidende Ursache für den letztlich ausbleibenden Erfolg des in Form von Operati­ons Research vorgeschlagenen Weges der Anwendung mathematischer Methoden in der Ökonomie sieht der Autor neben der mechanischen Arbeitsmethode insbesondere in der Arbeit mit simplifizierenden mathematischen Modellen, die zwischen der Mathematik und den Anwendungsdisziplinen eingeordnet wurden. Der Autor hat diesen Weg selbst enga­giert unterstützt[45],[46],[47]; er geriet jedoch sehr bald in der eigenen Arbeit in Widersprüche und selbst in den Strudel des Niedergangs der Operationsforschung.

Daß sich der Autor zusammen mit anderen Kollegen der Bauakademie relativ früh von vor­dem vertretenen Positionen zur Operationsforschung löste, sicherte letztlich nicht das Fortführen jener Arbeiten, die mit der Schaffung und Anwendung des komplexen mathe­matischen Modells OMBESA verbunden waren. Bereits im Oktober 1973 gerieten die Be­arbeiter des OMBESA im Institut für Städtebau und Architektur unter Kritik. Angegriffen wurden bestimmte inhaltliche Positionen, die dem OMBESA zugrunde lagen. Kritiker waren einige wenige Kollegen, die im Prozeß der Anwendung mathematischer Methoden in der städtebaulichen Planung eine andere methodische Herangehensweise anstrebten. Es kam die sogenannte OMBESA-Diskussion zustande, die erst im Sommer 1975 ohne zufrieden­stellendes Ergebnis endete. Im Verlaufe des Jahres 1976 mußten die Arbeiten mangels Unterstützung abgeschlossen werden. Das OMBESA-Kollektiv zerfiel.

Nur wenige Arbeiten zur Schaffung und Anwendung ökonomisch-mathematischer Modelle und Methoden konnten im Bauwesen und in der Bauforschung der DDR bis in die achtziger Jahre hinein fortgesetzt werden. Das galt auch für andere volkswirtschaftliche Bereiche. Je­ne Aktivitäten zur Anwendung mathematischer Modelle und Methoden, die außerhalb des Bauwesens die siebziger Jahre überlebten, enthält eine im Jahre 1985 vom Zentralinstitut für sozialistische Wirtschaftsführung herausgegebene Broschüre.[48] In ihr sind die Arbeiten in der zentralen staatlichen Planung, in den Industriekombinaten, im Verkehrswesen und in der Landwirtschaft beschrieben. Fortschritte gab es Ende der siebziger Jahre, Anfang der achtziger Jahre in den Auseinandersetzungen zur Mathematikausbildung der Ingenieure und Ökonomen[49], in der Anerkennung der Bedeutung der mathematischen Modellierung im Erkenntnisprozeß in der Ökonomie[50] sowie in der Klärung der Stellung der Mathematik in der Gesellschaft.[51] Durch die teils verordnete, teils selbst gewählte Isolation der Spezia­listen der Nutzung der Mathematik in der Ökonomie erlangten jedoch neuere Erkenntnisse keine breite Resonanz. Man blieb prinzipiell unter sich. Der ökonomischen Fachliteratur wa­ren solche Arbeiten verschlossen. Nicht in Frage gestellt wurde die Auffassung vom Ent­stehen der Zwischendisziplinen. So z.B. äußerte 1985 Lothar Budach, der Vorsitzende der Klasse Mathematik an der Akademie der Wissenschaften der DDR, daß "an den Nahtstel­len zu anderen Wissenschaften ... neue Disziplinen entstehen - mathematische Physik, Biomathematik, Biometrie, Informatik."[52] Und auch nach der Wiedervereinigung der beiden deutschen Staaten wird in den neuen Bundesländern versucht, diese Denkrichtung fortzu­setzen, so an der Technischen Universität Dresden, wo an der Wirtschaftswissenschaftli­chen Fakultät im Wintersemester 1991/1992 zum Lehrstuhl für "Quantitative Methoden" die Spezialisierungsrichtungen" Statistik, Operations Research und Ökonometrie angegeben werden.[53] Der DDR-Begriff "Operationsforschung" wurde wieder durch den Originalbegriff ersetzt!

Der Autor ist davon überzeugt, daß das Dilemma unzureichenden Vorkommens der Nut­zung der Mathematik in der Ökonomie weiterhin bestehen bleiben wird, wenn wir uns vom Denken in Zwischendisziplinen nicht verabschieden. Die Vertreter jener Disziplinen werden nicht aus ihrer fachlichen Isolation finden, und es wird ihnen keine ausreichende Anerken­nung weder von den Mathematikern, noch von den Ökonomen zuteil werden - es sei denn, sie entscheiden sich für eine der beiden Arbeitsrichtungen oder für eine verbesserte me­thodologische Fundierung der Nutzung der Mathematik in den Einzelwissenschaften. In der Ökonomie wird es einem bisherigen Vertreter einer Zwischendisziplin nur möglich sein, sich durchzusetzen, wenn es ihm mittels der mathematischen Modellierung gelingt, tiefer und fundierter in die fachliche Problematik einzudringen. Sie könnten es sein, die die Ökonomie revolutionieren helfen und die Nutzung der Mathematik in der Ökonomie von etwas Beson­derem zum Normalen machen. Aber der Weg wird sehr unbequem sein!

 


 

[1] Unter Einzelwissenschaften werden nachfolgend solche Wissenschaften verstanden, deren Tätigkeit auf das Erkennen und Verändern der objektiven Realität unmittelbar gerichtet ist. Hierbei wird von einer Klassifikatation der Wissenschaften "nach dem Grad der Allgemeinheit bzw. dem Gegen­standsbereich" ausgegangen. "Die Basis der Pyramide dieses Klassifikationssystems sind die sog. Einzelwissenschaften." (Vgl. G. Klaus, M. Buhr (Hrsg.): Philosophisches Wörterbuch. 10. Auflage, Leipzig 1974, S. 633)

[2] Grundmann, W.: Mathematische Modellierung der Batteriefertigung für die Tagesbelegung einer Woche. Berlin, April 1970, 24 Seiten, unveröffentl.

 

[3] Lindner, H.; Grundmann, W.; Stiehler, G.; Henry, E.: Modell zur Optimierung der baulichen Entwick­lung eines Siedlungssystems OMBESA-1/72. Verfahrensdokumentation für die Anwendung des Mo­dells. Bauakademie der DDR, Berlin, Juli 1973, 80 Seiten

 

[4] Grundmann, W.; Henry, E.: Optimierungsmodell bauliche Entwicklung eines Siedlungssystems (anwendungsorientiert) - OMBESA-1/72. Bauakademie der DDR, Institut für Wissenschaftsorgani­sation und Informationsverarbeitung, Berlin 1972, 40 Seiten, 6 Tabellen, unveröffentlicht.

Diese Ausarbeitung enthält neben tabellarischen Übersichten zur Struktur des mathemati­schen Modells eine zusammenfassende Darstellung der benötigten mathematischen Symbole, der mathematischen Beziehungen sowie die Zielfunktion. Das Modell unterlag in den siebziger Jahren der Geheimhaltung. Eine spätere Veröffentlichung war nicht mehr möglich. Die detaillierte Begrün­dung des Modells hätte hunderte Textseiten erfordert. Die Lösung der drei praktischen Optimie­rungsprobleme, die ausgehend vom OMBESA aufbereitet wurden, erfolgte mit Hilfe des Programm­systems "Mathematical Programming System" auf einer IBM-360/40. Die Anwendung des Pro­grammsystems wird beschrieben in: "An Introduction to linear Programming." Data Processing Application. Technical Publications Department. International Business Machines Corporation, New York 1964, 64 S.

Das Programmsystem diente der Lösung umfangreicher linearer Optimierungsprobleme. Über die Enstehung und den Inhalt des OMBESA sowie über Ergebnisse und Folgerungen aus seinen Anwendungen wird der Autor später berichten.

 

[5] In der amerikanischen Originalliteratur wird von G. B. Dantzig, C. W. Churchman u.a. für den Begriff Zielfunktion noch von "linear functional", "linear form" oder "linear function" gesprochen, während die Nebenbedingungen "conditions" oder "restraints" heißen. Die Formulierung des linearen Pro­grammierungsproblems erfolgt jedoch so, daß das Maximieren oder Minimieren der linearen Form dominiert. (Vgl. Churchman/Ackoff/Arnoff: Introduction to Operations Research. John Wiley & Sons, New York, 8. Aufl. 1964, S. 327 u. 341)

In der deutschen Übersetzung dieses Buches wird "linear functional" mit "linearer Funktion" und "conditions" mit "Nebenbedingungen" übersetzt. (Vgl. Churchman/Ackoff/Arnoff: Operations Rese­arch. Eine Einführung in die Unternehmensforschung. 3. Auflage in der DDR, Verlag Die Wirtschaft, Berlin 1969, S. 301)

Die Autoren der in Anmerkung 4 genannten IBM-Broschüre verwenden für "Zielfunktion" die Terme "objektiv function" (S. 27, 37 u. 54) sowie "linear function" (S. 51); die "Nebenbedingungen" heißen "contraints" (S. 37) oder "restrictions" (S. 51)

 

[6] Jüttler, H.; Schreiter, D.; Schubert, D.: Die Operationsforschung. Arbeitsweise und Anwendungen in der Praxis. Verlag Die Wirtschaft, Berlin 1968, S. 11

 

[7] Rudolph, Johannes: Die Bedeutung der ökonomischen Kybernetik für die Entwicklung der Organi­sationswissenschaft und der Operationsforschung in der sozialistischen Volkswirtschaft. In: Wirt­schaftswissenschaft 17(1969)2, S. 206

 

[8] ebenda, S. 214

 

[9] ebenda, S. 216

[10] Im Folgenden muß zunächst vernachlässigt werden, daß inhaltlich-mathematische Formen nicht nur in den Einzelwissenschaften und abstrakt-mathematische Formen auch in anderen "Strukturwissenschaften" außerhalb der Mathematik Bedeutung haben können. Offensichtlich ist aber die Klä­rung der möglichen klaren Abgrenzung zwischen der Mathematik und den sie nutzenden Einzelwis­senschaften zunächst primär.

 

[11] Auf abstrakt-mathematische Formen wird in Abschnitt 3.2. eingegangen.

 

[12] Der Begriff inhaltlich-mathematisches Modell wäre unzulässig, da der Begriff Modell bereits Wider­spiegelung aus der Realtät, also Inhalt, impliziert. Hingegen kann nach inhaltlich-mathematischen Formeln und nach abstrakt-mathematischen Formeln unterschieden werden. Zu letzteren gehören z.B. die binomischen Formeln, wie (a-b)*(a+b) = a2 - b2.

 

[13] Auch ein mathematisches Modell existiert nur in der Einheit von verbaler und formalisierter Be­schreibung, da die im Modell enthaltenen inhaltlich-mathematischen Symbole verbal beschrieben werden müssen.

 

[14] Um die Entwicklung unseres Sonnensystems vorausberechnen zu können, bedarf es neben der Kenntnis des Ausgangszustandes (der Sonnen- und Planetenmassen einschließlich ihrer Verände­rungen, der Umlaufgeschwindigkeit und Abstände, der Rotationsgeschwindigkeiten usw.) zumin­dest der Kenntnis der Kepler'schen Gesetze der Planetenbewegung.

 

[15] Beispielsweise passen sich die Blätter vieler Pflanzenarten veränderlichen Bedingungen der Licht­einwirkung an. Bienen bauen die Zellen ihrer Waben so, daß für "Zellen mit sechseckiger Grund­form ... bei gleichem Fassungsvermögen am wenigsten Baumaterial nötig" ist. (Vgl. Mathias Freu­de: Tier bauen. Urania-Verlag Leipzig, Jena, Berlin 1982, S. 146) Der menschliche Organismus si­chert im Normalfalle eine für sein Funktionieren optimale Körpertemperatur in einem Bereich von 36,5 bis 37,0 Grad (Optimum im stochastischen Sinne).

 

[16] Streng genommen ist die Bewertungsfunktion ein Term, der für die optimale Lösung - je nach dem Inhalt des Optimierungsproblems - einen minimalen bzw. maximalen Wert annimmt.

 

[17] Beim derzeitigen Stand der wissenschaftlichen Erkenntnis zur Beschreibung der Entwicklung komplexer Systeme und den unzureichenden Erfahrungen in der mathematischen Modellierung darf angenommen werden, daß bisher geschaffene Optimierungsmodelle, die die mögliche Entwicklung gesellschaftlicher Systeme realistisch widerspiegeln sollen, ihre Aufgabe nur unzureichend erfüllen dürften.

 

[18] Ein solches Detailproblem ist z.B. die Suche nach jener Aufspaltung eines Blutgefäßes, die eine maximale Strömungsgeschwindigkeit des Blutes erlaubt.

 

[19] Das gilt z.B. für einen lebenden Organismus, für einen Insektenstaat, für das Landessiedlungssy­stem, für einen Konzern und dergleichen.

 

[20] Grundmann, W; Henry, E.: a.a.O.

 

[21] Heinz Liebscher, der das wissenschaftliche Erbe von Georg Klaus aufbereitete, zitiert aus dem Artikel "Mathematik und Leben I" von G. Klaus der Zeitschrift Einheit 4(1949)2, S. 169, wie folgt "Die mathematischen Gebilde existieren in der realen Welt und existieren dort, bevor sie vom Menschen entdeckt wurden." Nach Georg Klaus, schreibt Liebscher sind "mathematische Gebilde Abstraktio­nen aus der objektiven Realität", aber "nicht alle mathematischen Gebilde" werden "unmittelbar aus der objektiven Realität gewonnen". In einer weiteren von Liebscher zitierten Arbeit von Klaus "Über Fragen der Logik" (in: Deutsche Zeitung für Philosophie 1(1953)2, S. 364) äußert sich Klaus: "Die Mathematik ist ein System komplizierter Abstraktionen, die nicht direkt und unmittelbar mit der Realität zusammenhängen, sondern mit ihr über viele Zwischenschritte verknüpft sind." (Vgl. Lieb­scher, Heinz: Georg Klaus zu philosophischen Problemen von Mathematik und Kybernetik. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1982, S. 29 - 30)

 

[22] G. I. Ruzavin äußert ebenfalls dahingehend, "daß die eigentlichen Gegenstände der Mathematik abstrakter Natur sind." (In: Die Natur der mathematischen Erkenntnis. Berlin 1977, S. 51)

 

[23] Ausnahmen existieren, jedoch nur bei universell gültigen Inhalten, wie den Gradangaben für Winkel oder dem Parameter (bzw. dem Index) t zur Berücksichtigung zeitlicher Bezüge. Derartige allge­meingültige Aspekte nutzt die Mathematik gleichermaßen wie alle anderen Wissenschaften auch.

 

[24] Eigentlich handelt es sich sogar um ein gemischt-ganzzahliges Optimierungsproblem. Wegen der für die Variablen zu erwartenden großen Lösungswerte, deren Rundung auf ganze Zahlen unproble­matisch war, wurde jedoch auf die Einhaltung der Ganzzahligkeitsbedingungen verzichtet.

 

[25] Dantzig, G. B.: Maximization of a linear function of variables subject to linear inequalities. T.C. Koopmans (Hrsg.): Activity analysis of production and allocation. New York 1951

 

[26] Daß bei zielgerichtetem Abstrahieren konkretisiert wird, kann bei Rainer Thiel in der Arbeit "Zur Dialektik von Abstraktion und Konkretisierung" nachgelesen werden - veröffentlicht in der Deut­schen Zeitschrift für Philosophie 32(1984)4, S. 360 - 370

 

[27] Nach Georg Klaus wurde der Begriff Optimierung zuerst von G. W. Leibniz verwandt, jedoch auch im inhaltlichen Sinne (vgl. "Philosophisches Wörterbuch", Herausgeber: G. Klaus und M. Buhr, 10. Auflage, Leipzig 1974, S. 899)

 

[28] Georg Klaus spricht von 'Leerformen', die von der wirklichen Welt abstrahiert sind. und bemerkt, "daß wir es ... mit mathematischen Gebilden zu tun haben, die schon vor dem Menschen in der Welt existierten und die also nicht erfunden, beziehungsweise geschaffen, sondern lediglich ent­deckt wurden." (Vgl Klaus, G.: Mathematik und Realität I., S. 169, zitiert von Heinz Liebscher, a.a.O., S. 31)

 

[29] Vgl. Görlich, Willy: William Petty. Schriften zur politischen Ökonomie und Statistik. Akademie-Ver­lag, Berlin 1986, 436 S.

In der 1690 herausgegebenen Schrift "Politische Arithmetik" analysiert William Petty (1623-1687) den potentiellen Reichtum Englands und verwandte dazu statistische Methoden. Der Ausdruck "politische Arithmetik" wurde bis in die zwanziger Jahre unseres Jahrhunderts hinein von den Fach­vertretern verwandt.

 

[30] Die Bezeichnung "Mathematische Operationsforschung" war im Titel einer ab 1970 vom Akade­mie-Verlag Berlin, herausgegebenen Zeitschrift enthalten, die später in der Zeitschrift "optimization" aufging. Unter "Mathematischer Operationsforschung" sollten wohl alle mathematischen Methoden und Theorien verstanden werden, die von "O.R.-Modellen" ausgingen und einer streng mathemati­schen Behandlung zugänglich waren. Im englischen Sprachraum nennt man dieses Arbeitsgebiet "Mathematical Programming" - ein Terminus, der in der DDR mit "Mathematische Optimierung" übersetzt wurde.

 

[31] Der Begriff Wirtschaftsmathematik kam in den zwanziger Jahren auf. Das "Tabellenbuch zur Wirt­schaftsmathematik" von G. Beyrodt und A. Reißner, Fachbuchverlag GmbH, Leipzig 1949, gliedert auf Seite 7 die Wirtschaftsmathematik in Mathematik des Geldverkehrs, Versicherungsmathematik, Tarifmathematik und Mathematische Statistik. Es enthält auf Seite 58 eine interessante Literatur­übersicht mit 30 fast ausschließlich deutschen Beiträgen zur Wirtschaftsmathematik von 1920 bis 1948, u.a. auch zur "politischen Arithmetik".

 

[32] westeuropäische Bezeichnung für Operations Research

 

[33] russische Bezeichnung für Operations Research, die relativ spät in der UdSSR benutzt wurde

 

[34] Den Terminus "Betriebsökonometrie" gebrauchte im Jahre 1956 erstmalig der Österreicher A. Adam. 1974 erschien im Physica-Verlag Würzburg - Wien ein Buch von D. Zschocke mit dem Titel "Betriebsökonometrie. Stochastische und technologische Aspekte bei der Bildung von Produkti­onsmodellen und Produktionsstrukturen."

 

[35] Der Begriff "mathematische Ökonomie" wird gelegentlich in zusammenfassendem Sinne verwandt.

 

[36] In den Jahren, als die Ökonometrie entstand, wurden die Schriften des frühromantischen deut­schen Dichters Novalis neu herausgegeben, der sich Ende des 18. Jahrhunderts wie folgt äußerte: "Alle Wissenschaften sollen Mathematik werden. Die bisherige Mathematik ist nur die erste und leichteste Äußerung oder Offenbarung des wahrhaft wissenschaftlichen Geistes." Vgl. P. Kluckhohn (Hrsg.): Novalis Schriften. Dritter Band. Bibliographisches Institut AG, Leipzig 1929, S. 18

 

[37] Lafargue, Paul: Karl Marx. Persönliche Erinnerungen. In: Erinnerungen an Karl Marx. Dietz Verlag, Berlin 1953, S. 155

 

[38] Das größte im Jahre 1973 erfolgreich bearbeitete Anwendungsbeispiel für das komplexe mathe­matische Modell OMBESA umfaßte nahezu 2600 Variable und 1200 Bedingungen. Es war allein schon aus quantitativer Sicht nicht in einer Übersicht aufschreibbar, da dies die Giebelfläche eines dreigeschossigen Wohnhauses erfordert hätte.

 

[39] Aus heutiger Sicht sind die Anwendungen des Optimierungsmodells OMBESA, die in den Jahren 1973 bis 1976 erfolgten, primär als wissenschaftliche Experimente anzusehen.

 

[40] Vgl. Rudolph, J.: a.a.O., S. 206

 

[41] ebenda, S. 217

 

[42] Einstein, der selbst die Unterstützung der Mathematiker Hermann Minkowski und Marcel Gross­mann zur mathematischen Formulierung der allgemeinen und der speziellen Relativitätstheorie in Anspruch nahm (vgl. Friedrich Herneck: Albert Einstein. Ein Leben für Wahrheit, Menschlichkeit und Frieden. Buchverlag Der Morgen, Berlin 1963, S. 58 u. 60) sagte zu dieser Problematik: "Die For­mulierung eines Problems ist oft wichtiger als seine Lösung, die lediglich eine Sache der mathe­matischen oder experimentellen Geschicklichkeit sein kann."

:

[43] Hierzu schreibt J. Rudolph: "Durch die exakte Definition der Kategorien, durch die Zuordnung von Symbolen, durch die exakte Klärung des dialektischen Zusammenhangs zwischen diesen Katego­rien und durch das Fixieren adäquater Verknüpfungsregeln entsteht eine Fachsprache ... Erst dieser Prozeß der Formalisierung ermöglicht auch exakte Beweisführung und die widerspruchsfreie Dar­stellung komplizierter Sachverhalte." (a.a.O., S. 206)

 

[44] Auch hierzu die Auffassung von J. Rudolph: "Es fehlt eine auf den Gesetzen der Erkenntnistheorie basierende Theorie der Modellierung und Algorithmierung ökonomischer Systeme und Prozesse." (a.a.O., S. 213)

 

[45] Grundmann, W.: Wege zur Standortoptimierung, Arbeitsmaterial für die 13. Plenartagung der Deutschen Bauakademie, Deutsche Bauinformationen, Berlin 1964, 48 Seiten

 

[46] Autorenkollektiv (Grundmann, W.; Holdhaus, R. u.a.) Mathematische Methoden zur Standortbe­stimmung. Verlag Die Wirtschaft, Berlin 1968, 392 Seiten

 

[47] Autorenkollektiv (Fischer, H.; ... ; Grundmann, W. u.a.): Operationsforschung in der sozialistischen Wirtschaft. Dietz Verlag Berlin 1969, 940 Seiten

 

[48] Fischer, H.; Schwarz, R.: Mathematische Methoden in der sozialistischen Wirtschaft. Schriften zur sozialistischen Wirtschaftsführung. Dietz Verlag, Berlin 1985, 192 Seiten

 

[49] Vgl. u.a. Greuel, O.; Körth, H.; Manteuffel, K.; Schneider, H.: Zur Mathematikausbildung von Inge­nieuren und Ökonomen. In Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft der DDR, Eigenverlag, Heft 1/1978, S. 53-72

 

[50] Schilar, H.; Schwarz K.: Zur Entwicklung des Optimalitätsdenkens in der politischen Ökonomie und zum Zusammenhang von optimalen Bewertungen der Arbeitswerttheorie. In: Ökonomie und Opti­mierung, Akademie-Verlag, Berlin 1985, S. 195 - 297

 

[51] Scheler, W.: Stellung und Aufgaben der Mathematik bei der Entwicklung von Wissenschaft und Technik in unserer Gesellschaft. In: Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft der DDR, Eigen­verlag, Heft2/3-1984, S. 5 - 41

 

[52] "Algorithmen im Blut. Mathematik im Dienste der Praxis." Gespräch mit Prof. Dr. Lothar Budach. In Wochenpost, Nr. 20/1985, S. 16

 

[53] Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden 41(1992)1. S. 82

 

 

 

zurück zum Anfang